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Trigonometrische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Fr 18.05.2012
Autor: hase-hh

Aufgabe
An welchen Stellen nimmt die Funktion f(x) den Wert 10 an?

f(x) = [mm] 3*sin(\bruch{2 * \pi}{28}*x) [/mm] +12


Moin, Moin!

Ich suche also die Lösungen der Gleichung

f(x) = 10

[mm] 3*sin(\bruch{2 * \pi}{28}*x) [/mm] +12 = 10

[mm] sin(\bruch{2 * \pi}{28}*x) [/mm] = - [mm] \bruch{2}{3} [/mm]

Substitution:   z = [mm] \bruch{2 * \pi}{28}*x [/mm]


sin(z) = - [mm] \bruch{2}{3} [/mm]    | arcsin

z = -0,7297

Dieser Wert ist (leider) negativ.

Wie komme ich denn jetzt auf den ersten positiven Wert?

plus [mm] \pi [/mm] ?  


Danke für eure Hilfe!




        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 19:38 Fr 18.05.2012
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> An welchen Stellen nimmt die Funktion f(x) den Wert 10 an?
>  
> f(x) = [mm]3*sin(\bruch{28}{2 * \pi}*x)[/mm] +12
>  Moin, Moin!
>  
> Ich suche also die Lösungen der Gleichung
>
> f(x) = 10
>  
> [mm]3*sin(\bruch{28}{2 * \pi}*x)[/mm] +12 = 10
>  
> [mm]sin(\bruch{28}{2*\pi}*x)[/mm] = - [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> Substitution:   z = [mm]\bruch{28}{2 * \pi}*x[/mm]
>  
>
> sin(z) = - [mm]\bruch{2}{3}[/mm]    | arcsin
>  
> z = -0,7297
>  
> Dieser Wert ist (leider) negativ.
>
> Wie komme ich denn jetzt auf den ersten positiven Wert?
>  
> plus [mm]\pi[/mm] ?  
>


Nein,plus [mm]2\pi[/mm].


>
> Danke für eure Hilfe!
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Fr 18.05.2012
Autor: hase-hh

Also...

z = -0,7297

[mm] z_1 [/mm] = -0,7297 + [mm] 2*\pi [/mm]

1. Lösung          2. Lösung
[mm] z_1 [/mm] = 5,5535  -----  [mm] z_2 [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] z_1 +2*\pi [/mm]

                   [mm] z_2 [/mm] = 3,8713


Resubstituieren

[mm] z_1 [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{28}*x_1 [/mm]  -----  [mm] z_2 [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{28}*x_2 [/mm]

5,5535 = [mm] \bruch{2*\pi}{28}*x_1 [/mm]     3,8713 = [mm] \bruch{2*\pi}{28}*x_2 [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = 24,748                            [mm] x_2 [/mm] = 17,252


richtig?

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Fr 18.05.2012
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Also...
>
> z = -0,7297
>  
> [mm]z_1[/mm] = -0,7297 + [mm]2*\pi[/mm]
>  
> 1. Lösung          2. Lösung
>  [mm]z_1[/mm] = 5,5535  -----  [mm]z_2[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]z_1 +2*\pi[/mm]
>  
> [mm]z_2[/mm] = 3,8713
>  


[ok]

>
> Resubstituieren
>  
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\bruch{2*\pi}{28}*x_1[/mm]  -----  [mm]z_2[/mm] =
> [mm]\bruch{2*\pi}{28}*x_2[/mm]
>  
> 5,5535 = [mm]\bruch{2*\pi}{28}*x_1[/mm]     3,8713 =
> [mm]\bruch{2*\pi}{28}*x_2[/mm]
>  


Du hast doch substituiert:

[mm]z=\bruch{28}{2\pi}x[/mm]


> [mm]x_1[/mm] = 24,748                            [mm]x_2[/mm] = 17,252
>  
>
> richtig?


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Fr 18.05.2012
Autor: hase-hh


> Du hast doch substituiert:
>  
> [mm]z=\bruch{28}{2\pi}x[/mm]

Äh, die Substitution hätte lauten müssen... (s.o.)

z = [mm] \bruch{2*\pi}{28}*x [/mm]


Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 20:30 Fr 18.05.2012
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das war etwas voreilig!
Die Funktion sin(z) ist zwar [mm] 2\pi [/mm] -periodisch, aber es geht hier um den Schnittpunkt einer konstanten mit der sin-Funktionen, und es gibt derlei zwei  in einem [mm] 2\pi [/mm] -Intervall.


Die arcsin-Funktion liefert nur Winkel von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm] zurück, und daher in diesem Fall den Wert -0,7. Dann kann man sich geometrisch überlegen, daß die nächste Stelle bei [mm] \pi/2+(\pi/2-(-0,7))=\pi-(-0,7)=\pi+0,7 [/mm] liegt:

[Dateianhang nicht öffentlich]




EDIT: Ich hab was lang gebraucht. Aber es hat sich mittlerweile ja geklärt, daß da noch ne weitere Lösung bei 3,8 existiert...

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Fr 18.05.2012
Autor: hase-hh

Vielen Dank...!!  Dein Weg führt aber zur selben Lösung?!



Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Fr 18.05.2012
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Meine Antwort bezog sich auf die erste Antwort von MathePower, in der er sagt, daß man einfach [mm] 2\pi [/mm] hinzuaddieren muß. Das ist zwar auch eine Lösung, aber nicht die, die du suchst. Aber hinterher schreibst du selbst was von 3,8, und das ist die erste positive lösung.


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