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| Aufgabe | Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums heißt trigonalisierbar, wenn er durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt werden kann.
Zeigen Sie, dass im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Körpers K jeder Endomporhismus f eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V trigonalisierbar ist. |
also, ich weiß, dass das mit induktion über dimV funktioniert. im induktionsschritt ist also n=dimV. ich wähle einen Eigenvektor von f und ergänze ihn zur Basis in V. Ich weiß allerdings nicht, wie ich die anderen Basisvektoren wählen soll, somit ich dann die Induktionsvorraussetzung anwenden kann. Hat jemand nen Tipp? vielen dank im vorraus.....
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> Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
> K-Vektorraums heißt trigonalisierbar, wenn er durch eine
> obere Dreiecksmatrix dargestellt werden kann.
> Zeigen Sie, dass im Fall eines algebraisch abgeschlossenen
> Körpers K jeder Endomporhismus f eines
> endlich-dimensionalen K-Vektorraums V trigonalisierbar
> ist.
> also, ich weiß, dass das mit induktion über dimV
> funktioniert. im induktionsschritt ist also n=dimV. ich
> wähle einen Eigenvektor von f und ergänze ihn zur Basis in
> V.
Hallo,
wir machen eine Induktion über die Dimension des Vektorraumes, ich gehe davon aus, daß der induktionsanfang gemacht ist.
Führen wir nun den Schritt von n --> n+1 durch.
Sei K algebraisch abgeschlossen, V ein VR über K, dim V=n+1, f ein Endomorphismus von V,
Nun betrachten wir das charakteristische Polynom [mm] X_f [/mm] von f.
Da K algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt das Polynom über K in Linearfaktoren.
Also hat f (/mindestens einen) Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] mit zugehörigem Eigenwert [mm] x_1.
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] kann man durch Vektoren [mm] x_2,...x_{n+1} [/mm] zu einer Basis von V ergänzen.
Mit [mm] U:= [/mm] hat man [mm] V=\oplus [/mm] U.
Nun betrachte ich die Projektionen [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] auf diese beiden Unterräume,
[mm] p_1(\summe_{i=1}^{n+1}a_ix_i):=a_1x_1,
[/mm]
[mm] p_2(\summe_{i=1}^{n+1}a_ix_i):= \summe_{i=2}^{n+1}a_ix_i.
[/mm]
Du kannst sehen oder wissen oder oder Dir überlegen, daß [mm] f=p_1\circ f+p_2\circ [/mm] f.
Es ist [mm] (p_2\circ [/mm] f) [mm] (U)\subseteq [/mm] U,
also ist die Einschränkung der Abbildung [mm] p_2\circ [/mm] f auf U ein Endomorphismus auf U.
Dessen darstellende Matrix bzgl. [mm] [/mm] sei M.
Nun schreiben wir die darstellende Matrix [mm] A_f [/mm] für f auf.
[mm] A_f=\pmat{ \lambda_1 & 0 & ...&0\\ 0 & & & \\ 1\vdots & & M&\\ 0 & & & }
[/mm]
Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist
[mm] X_f(x)=(x-\lambda_1)X_M(x)
[/mm]
Nach Voraussetzung zerfällt [mm] X_f(x). X_M(x) [/mm] ist ein Teiler davon,
also zerfällt [mm] X_M(x). [/mm] Nach der Induktionsvoraussetzung ist also M ..., und folglich ist [mm] A_f [/mm] eine ..., also ist f ...
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich die anderen Basisvektoren wählen soll,
> somit ich dann die Induktionsvorraussetzung anwenden kann.
Um dies noch zu beantworten: wenn Du den ersten Vektor als Eigenvektor gewählt hast, kannst Du die anderen irgendwie wählen
Gruß v. Angela
P.S.: Leider bin ich im Moment in Eile, deshalb gehen in den letzten Zeilen die Homomorphismen und ihre darstellenden Matrizen etwas durcheinander, das könnte (und sollte) man wohl schöner machen.
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