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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aus reinem Spieltrieb versuchte ich die folgende DGL mit einem Potenzreihenansatz zu lösen:
[mm]f'(x) = f(x)^2 + 1[/mm]
Die Lösung sieht mancher vielleicht direkt, es ist [mm]f(x) = \tan(x + c)[/mm].
Wie erwartet ist der Potenzreihenansatz einigermaßen mühsam - kein Wunder, da schon die Reihenentwicklung für tan(x+c) ein unbekanntes c einfach nicht sonderlich übersichtlich wird. Hilfreich wäre es, wenn man c = 0 setzen darf.
1. Frage daher: Kann man ohne auf die Lösung zurückzugreifen argumentieren, daß die Funktion f mindestens eine Nullstelle besitzen muß?
2. Frage: Periodizität. Kann man der DGL ihre Periodizität ansehen und diese elegant beweisen, ohne daß man die Lösung kennen muß?
Beides ist mir nicht gelungen, aber ich fand die Fragen ganz interessant. Wenn jemand Lust hat, kann er sich ja mal damit auseinandersetzen, wäre an Lösungsvorschlägen sehr interessiert.
Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kannst du einen Potenzreihenansatz machen, ohne Anfangswert? Du kannst zum Anfangswert f(0)=0 einfach den tanx finden (bzw. dessen Reihe) wenn du f(0)=k setzt kriegst du halt nen anderen tan. also deinen tan(x+c) dann ist die Reihe nur nicht so leicht wiederzu erkennen.
die Periodizität würd ich versuchen mit Anfangswert [mm] f(n*\pi)=0 [/mm] wieder die Reihe entwickeln und feststellen, obs dieselbe ist.
Gruss leduart
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Die Antwort zu 1. ist ganz einfach, da die Funktion wegen ihrer Diffbarkeit als stetig angesehen werden kann (außer an Unendlichkeitsstellen):
Wegen [mm] f'(x)=f(x)^2+1 \ge [/mm] 0+1 ist die Steigung immer [mm] \ge [/mm] 1.
Betrachte nun f(0)=a.
Ist a=0, bist du fertig.
Ist a>0, gehst du bis x=-a. Da der Graph überall steiler als 1 ist, fällt er - wenn du nach links um a Einheiten gehst - um mindestens a und erreicht somit die x-Achse spätestens bei x=-a.
Ist a<0, gehst du bis x=a. Da der Graph überall steiler als 1 ist, steigt er - wenn du nach rechts um a Einheiten gehst - um mindestens a und erreicht somit die x-Achse spätestens bei x=a.
Also hat f eine Nullstelle.
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Hallo,
> Die Antwort zu 1. ist ganz einfach, da die Funktion wegen
> ihrer Diffbarkeit als stetig angesehen werden kann (außer
> an Unendlichkeitsstellen):
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> Wegen [mm]f'(x)=f(x)^2+1 \ge[/mm] 0+1 ist die Steigung immer [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Betrachte nun f(0)=a.
>
> Ist a=0, bist du fertig.
>
> Ist a>0, gehst du bis x=-a. Da der Graph überall steiler
> als 1 ist, fällt er - wenn du nach links um a Einheiten
> gehst - um mindestens a und erreicht somit die x-Achse
> spätestens bei x=-a.
ich fuerchte, so leicht ist das nicht. es ist voellig unklar, ob die loesung so ein grosses definitions-intervall hat. im gegenteil: aufgrund des nichtlinearen terms [mm] $f^2$ [/mm] in der DGL ist eigentlich klar, dass die loesung explodiert, also polstellen hat.
ich denke aber, man kann deine argumentation ein wenig veraendern: der satz von peano sagt, dass sich (unter gewissen voraussetzungen) loesungen fortsetzen lassen oder aber, so wie es hier der fall ist, ueber alle grenzen wachsen. wenn sich die loesung immer weiter fortsetzen laesst, kann man so argumentieren wie du oben.
Sonst: da hier die steigung immer positiv ist, muss die loesung einen negativen und einen positiven pol haben. nach dem zwischenwertsatz gibt es dann eine nullstelle.
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> Ist a<0, gehst du bis x=a. Da der Graph überall steiler als
> 1 ist, steigt er - wenn du nach rechts um a Einheiten gehst
> - um mindestens a und erreicht somit die x-Achse spätestens
> bei x=a.
>
> Also hat f eine Nullstelle.
VG
matthias
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Es ist völlig richtig, dass das Def.-Intervall gar nicht bis a bzw. -a geht. Ich habe ja auch nur behauptet, dass spätestens bei einer Abweichung von a oder -a von 0 die Nullstelle kommen muss. Wenn die Funktion steiler verläuft (was ja tatsächlich der Fall ist), kommt sie entsprechend "früher". Es ging ja um einen Existenzbeweis.
Nicht richtig ist folgende Aussage von dir:
Sonst: da hier die steigung immer positiv ist, muss die loesung einen negativen und einen positiven pol haben.
Die Steigung von [mm] e^x [/mm] ist auch immer positiv, trotzdem hat diese Fkt. keinen einzigen Pol.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Mo 03.09.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
> Es ist völlig richtig, dass das Def.-Intervall gar nicht
> bis a bzw. -a geht. Ich habe ja auch nur behauptet, dass
> spätestens bei einer Abweichung von a oder -a von 0 die
> Nullstelle kommen muss. Wenn die Funktion steiler verläuft
> (was ja tatsächlich der Fall ist), kommt sie entsprechend
> "früher". Es ging ja um einen Existenzbeweis.
>
> Nicht richtig ist folgende Aussage von dir:
>
>
> Sonst: da hier die steigung immer positiv ist, muss die
> loesung einen negativen und einen positiven pol haben.
> Die Steigung von [mm]e^x[/mm] ist auch immer positiv, trotzdem hat
> diese Fkt. keinen einzigen Pol.
>
richtig, so genommen stimmt die aussage nicht. was ich meinte ist: laesst sich eine loesung sowohl nach vorne wie auch nach hinten nicht unbegrenzt fortsetzen, so wie es hier der fall ist, muss in beiden richtungen ein pol kommen. da die steigung strikt positiv ist, muss ein pol negativ der andere positiv sein.
vg
matthias
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