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Forum "Lineare Abbildungen" - Triangulierbarkeit, beweis
Triangulierbarkeit, beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Triangulierbarkeit, beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mo 21.05.2012
Autor: sissile

Aufgabe
V= ein n-dimensionaler Vektorraum
[mm] \phi:V->V [/mm] linear.
Zeige dass [mm] \phi [/mm] genau dann triangulierbar ist, wenn [mm] \phi^t [/mm] : [mm] V^{\*}-> V^{\*} [/mm] triangulierbar ist. SChließe daraus, dass eine Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte Matrix [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] triangulierbar ist.

[mm] V^{\*}.. [/mm] Dualraum von V

Mein wissen über duale Abbildungen, das helfen könnte:
[mm] \alpha \in V^{\*} [/mm]
[mm] \alpha: V->\IK [/mm]
[mm] \phi^t(\alpha)=\alpha \circ\ \phi [/mm]

[mm] b_1^{\*},..,b_n^{\*} [/mm] ist eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] (die zu [mm] b_1,..,b_n [/mm] duale Basis) und [mm] dim(V^{\*})= [/mm] dim(V)
Außerdem [mm] b_i^{\*} (b_j) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases} [/mm]

Eine Matrix/Abbildung ist genau dann triangulierbar wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. bzw. es Basen gibt, sodass die Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.


        
Bezug
Triangulierbarkeit, beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:23 Di 22.05.2012
Autor: fred97

Wie hängt das char. Polynom von [mm] \Phi [/mm] mit dem char. Polynom von [mm] \Phi^t [/mm] zusammen ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Triangulierbarkeit, beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Di 22.05.2012
Autor: sissile


> Wie hängt das char. Polynom von [mm]\Phi[/mm] mit dem char. Polynom
> von [mm]\Phi^t[/mm] zusammen ?
>  
> FRED

Die beiden charakteristischen Polynome sind gleich.
=> selbe eigenwerte

außerdem gilt [mm] [\phi^t]_{B^{\*} B^{\*}} [/mm] = [mm] [\phi]^t_{BB} [/mm]
wobei [mm] B^{\*} [/mm] die zu B duale Basis von [mm] V^{\*} [/mm] ist.


wenn mir das weiter hilft.


Bezug
                        
Bezug
Triangulierbarkeit, beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> > Wie hängt das char. Polynom von [mm]\Phi[/mm] mit dem char. Polynom
> > von [mm]\Phi^t[/mm] zusammen ?
>  >  
> > FRED
> Die beiden charakteristischen Polynome sind gleich.
>  => selbe eigenwerte

Das hast Du geschrieben:

Eine Matrix/Abbildung ist genau dann triangulierbar wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt

machts "klick" ?

FRED

>  
> außerdem gilt [mm][\phi^t]_{B^{\*} B^{\*}}[/mm] = [mm][\phi]^t_{BB}[/mm]
>  wobei [mm]B^{\*}[/mm] die zu B duale Basis von [mm]V^{\*}[/mm] ist.
>  
>
> wenn mir das weiter hilft.
>  


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Triangulierbarkeit, beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Di 22.05.2012
Autor: sissile

Wenn [mm] \phi [/mm] triangulierbar ist => zerfällt sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren => [mm] \phi^t [/mm] selbe charakteristische Polynom => zerfällt ebenfalls in Linearfaktoren => [mm] \phi^t [/mm] triangulierbar

Die Pfeile gehen genauso in die umgekehrte richtung.
ABer das ist doch kein beweis?
In der Vorlesung haben wir nur gezeigt, dass die charakeristischen Polynome einer Matrix und der transponierten Matrix gleich ist.
Muss ich da noch was zeigen?

> SChließe daraus, dass eine Matrix A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte Matrix $ [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ triangulierbar ist.

Bis auf Isomorphismen kann [mm] \phi^t [/mm] mit [mm] A^t [/mm] assoiert werden.

Bezug
                                        
Bezug
Triangulierbarkeit, beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> Wenn [mm]\phi[/mm] triangulierbar ist => zerfällt sein
> charakteristisches Polynom in Linearfaktoren => [mm]\phi^t[/mm]
> selbe charakteristische Polynom => zerfällt ebenfalls in
> Linearfaktoren => [mm]\phi^t[/mm] triangulierbar
>  
> Die Pfeile gehen genauso in die umgekehrte richtung.
>  ABer das ist doch kein beweis?

Warum nicht ? Nur schöner aufschreiben solltest Du ihn.


>  In der Vorlesung haben wir nur gezeigt, dass die
> charakeristischen Polynome einer Matrix und der
> transponierten Matrix gleich ist.
>  Muss ich da noch was zeigen?

Nö.


>  
> > SChließe daraus, dass eine Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte
> Matrix [mm]A^t \in M_{n \times n} (\IK)[/mm] triangulierbar ist.
> Bis auf Isomorphismen kann [mm]\phi^t[/mm] mit [mm]A^t[/mm] assoiert werden.

assoziiert ?

FRED


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Triangulierbarkeit, beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:25 Di 22.05.2012
Autor: sissile

ABer dann ist das Bsp doch "geschenkt"?

> > SChließe daraus, dass eine Matrix A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $
> genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte
> Matrix $ [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ triangulierbar ist.
> Bis auf Isomorphismen kann $ [mm] \phi^t [/mm] $ mit $ [mm] A^t [/mm] $ assoiert werden.

> assoziiert ?

Jap meinte ich, zu schnell geschrieben. Ist das nicht die Begründung für die Frage?
Mich stört jan das mit "bis auf Isomorphismen"- Weil so bin ich mir nicht sicher.

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Triangulierbarkeit, beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 Mi 23.05.2012
Autor: sissile

Noch wer eine Idee?
Liebe Grüße

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Triangulierbarkeit, beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> Noch wer eine Idee?

Wie, noch wer eine Idee ? Was soll das ? Ich hab Dir die Frage doch vollständig beantwortet !

FRED


>  Liebe Grüße


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Triangulierbarkeit, beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:19 Mi 23.05.2012
Autor: sissile

Hei,
Aber ich weiß doch nur dass das charakeritische Polynom von einer Matrix und ihrer Transponierten Matrix gleich ist.
Die duale Abbildung wird aber BIS AUF EINEN ISOMORPHISMUS mit der transponierten matrix assoziiert.
Was ist mit die Isomorphismen, die noch in der det stehen im charakeristischen Polynom?

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Triangulierbarkeit, beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 25.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Triangulierbarkeit, beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 24.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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