Trennung Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Lösung der Differentialgleichung [mm]y'=xy-x[/mm] durch Trennung der Variablen |
Lösung der Differentialgleichung [mm]y'=xy-x[/mm] durch Trennung der Variablen:
1. Prüfung: Differentialgleichung ist separabel:
[mm]y'=x*(y-1)[/mm] OK.
2. Differentialquotient bilden:
[mm]\bruch{dy}{dx}=x*(y-1)[/mm]
3. Trennung der Variablen:
[mm]\bruch{1}{(y-1)} {dy} = x dx[/mm]
4. Integration:
Bei der Integration bin ich mir jetzt nicht mehr sicher:
Rechte Seite auf jeden Fall [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm]
Auf der linken Seite bin ich mir nicht sicher:
[mm] ln (y-1) = \bruch{x^2}{2}[/mm] ?????
Und wie löse ich jetzt nach y auf?????
Für eure Hilfe wäre ich super dankbar.
Ganz liebe Grüße, Andreas
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hasst du nicht die integratinskonstante vergessen?
jetzt wendenst du auf beiden seiten die e-fkt an und erhälst damit:
[mm] y=e^{0.5x^2+c}+1
[/mm]
das kann man jetzt noch ein bischen vereinfachen indem man z.b c=lnA definiert und damit bekommt man [mm] y=A*e^{0.5x^2}+1
[/mm]
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo arvi, vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
Laut Musterlösung soll (eigentlich) herauskommen:
[mm]y = 1 - e^{\bruch{x^2}{2}}[/mm]
Und das ist das, was ich nicht verstehe. Du hast jetzt herausbekommen [mm]y = e^{\bruch{x^2}{2}} + 1[/mm]
Wie kommt diese Diskrepanz denn zustande?
Viele Grüße und vielen Dank!
Andreas
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ist doch genau das selbe.
bei der musterlösung ist A=-1.
das bekommt du aus der anfangsbedingung. diese müsste eigentlich bei einer dgl angegeben sein um sie speziell zu lösen.
sprich es fehlt eine angabe wie y(0)=1, oder so was in der art.
ansonsten ist so eine dgl nur allgemein (sprich mit der integrationskonstante) lösbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo arvi, vielen Dank für Deine Antwort!
Ja, die Anfangsbedingung ist y(0)=0.
Und das hilft mir zu der Lösung $ y = 1 - [mm] e^{\bruch{x^2}{2}} [/mm] $ ohne Integrationskonstante?
Das habe ich noch nicht verstanden.... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Liebe Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo ebarni,
setze doch einmal [mm] y(\green{0})=\blue{0} [/mm] in [mm] \blue{y}=A*e^{0,5*\green{x}^2}+1 [/mm] ein.
Was erhältst du für A?
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Herby!
OK:
$ \blue{y}=A\cdot{}e^{0,5\cdot{}\green{x}^2}+1 $
$ 0 = A\cdot{}e^{0,5\cdot{}\green{0^2}+1 $
$ 0 = A\cdot{}1+1$
$ 0 = A+1$
$ A = -1$
Alles klar, vielen Dank und viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo und noch mal eine kurze Verständnisfrage:
$ ln (y-1) = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + C$
Jetzt auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden:
$ [mm] e^{(y-1)} [/mm] = [mm] e^{\bruch{x^2}{2}+C} [/mm] $
Wie kommt man dann aber zu:
$ [mm] y=e^{\bruch{x^2}{2}+C}+1 [/mm] $ ?????
Sorry, sollte keine Frage sondern eine Mitteilung werden. Habe ich aber erst beim Eingeben gemerkt.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo und noch mal eine kurze Verständnisfrage:
>
> [mm]ln (y-1) = \bruch{x^2}{2} + C[/mm]
>
> Jetzt auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden:
>
> [mm]e^{(y-1)} = e^{\bruch{x^2}{2}+C}[/mm]
wo ist denn hier dein ln geblieben? Es muss heißen:
[mm] e^{\red{ln}(y-1)}=.....
[/mm]
klärt das deine Frage?
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Herby, vielen Dank, jetzt ist es klar!
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo arvi, noch eine kurze Frage:
Wenn ich c=ln A definiere und dann für A = -1 ausrechne, heisst das doch c=ln(-1). Da meint mein Taschenrechner aber ERROR....
Es ist doch
$ ln (y-1) = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] +C $
$ y-1 = [mm] e^{\bruch{x^2}{2} +C} [/mm] $
$ y = [mm] e^{\bruch{x^2}{2}} [/mm] * [mm] e^{c} [/mm] +1$
Und hier sage ich doch A = [mm] e^c, [/mm] also lnA=C. Und wenn ich dann für A=-1 ausrechne und ln(-1)=C ist, kommt ein ERROR.
Was mache ich falsch?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
rechne es doch so, wenn du schon die Anfangsbedingungen gegeben hast:
[mm] $\frac{dy}{dx}=xy-x=x(y-1)$
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] $\frac{dy}{y-1}=x [/mm] dx$
Und jetzt integrieren:
[mm] $\int^{y(x)}_{y(0)} \frac{dy'}{y'-1}=\int^{x}_{0}x' [/mm] dx'$
Dann weiter ausrechnen, und dann steht da im letzten Schritt:
[mm] $y(x)=1-e^{1/2x^2}+y(0)e^{1/2x^2}$ [/mm] Jetzt y(0)=0 einstezen, und du bist fertig.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo kroni, vielen Dank für Deinen post!
> Und jetzt integrieren:
>
> [mm]\int^{y(x)}_{y(0)} \frac{dy'}{y'-1}=\int^{x}_{0}x' dx'[/mm]
>
> Dann weiter ausrechnen, und dann steht da im letzten
> Schritt:
Bis hierhin komme ich noch mit. Vielleicht kannst Du es mir mal weiter ganz formal vorrechnen bis zu:
>
> [mm]y(x)=1-e^{1/2x^2}+y(0)e^{1/2x^2}[/mm] Jetzt y(0)=0 einstezen,
> und du bist fertig.
>
Wenn ich nämlich integriere, komme ich einfach bei der linken Seite auf ln(y-1) und auf der rechten Seite auf [mm] e^{1/2x^2 +C} [/mm] und damit auf:
$y = [mm] e^{1/2x^2 +C} [/mm] +1$
Jetzt würde ich mich fragen, dass der Ausdruck [mm] e^{1/2x^2 +C} [/mm] insgesamt -1 werden muss für y(0)=0.
Also
$ [mm] e^{1/2x^2 +C} [/mm] = -1$
$ [mm] 1/2x^2 [/mm] +C = ln(-1)$
Aber das führt in die Irre....;-(
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, dann rechne ich es mal weiter =)
> Hallo kroni, vielen Dank für Deinen post!
>
> > Und jetzt integrieren:
> >
> > [mm]\int^{y(x)}_{y(0)} \frac{dy'}{y'-1}=\int^{x}_{0}x' dx'[/mm]
Das ganze ist doch gleich
[mm] $[\ln(y'-1)]^{y(x)}_{y(0)} [/mm] = [mm] [1/2x'^2]^{x}_{0}$
[/mm]
Und jetzt die Grenzen einsetzen:
[mm] $\ln(y(x)-1)-\ln(y(0)-1)=1/2x^2$
[/mm]
Jetzt wissen, dass [mm] $\ln(x)-\ln(y)=\ln(x/y)$, [/mm] also kann man die rechte Seite zusammenfassen. Dann noch die e-Funktion drauf loslassen, dann steht dort folgendes:
[mm] $\frac{y(x)-1}{y(0)-1}=e^{1/2x^2}$
[/mm]
Okay, jetzt $y(0)-1$ rüberbringen, klammer auflösen, die -1 von y(x)-1 rüberbringen, wissen, dass y(0)=0, und schon steht dein Ergebnis da.
> >
>
> > Dann weiter ausrechnen, und dann steht da im letzten
> > Schritt:
>
> Bis hierhin komme ich noch mit. Vielleicht kannst Du es mir
> mal weiter ganz formal vorrechnen bis zu:
> >
> > [mm]y(x)=1-e^{1/2x^2}+y(0)e^{1/2x^2}[/mm] Jetzt y(0)=0 einstezen,
> > und du bist fertig.
> >
>
> Wenn ich nämlich integriere, komme ich einfach bei der
> linken Seite auf ln(y-1) und auf der rechten Seite auf
> [mm]e^{1/2x^2 +C}[/mm] und damit auf:
Hier machst du deinen Fehler: Du hast ein bestimmtes Integral, da gibt es keine Integrationskonstante, weil sich diese weghebt.
>
> [mm]y = e^{1/2x^2 +C} +1[/mm]
>
> Jetzt würde ich mich fragen, dass der Ausdruck [mm]e^{1/2x^2 +C}[/mm]
> insgesamt -1 werden muss für y(0)=0.
>
> Also
>
> [mm]e^{1/2x^2 +C} = -1[/mm]
>
> [mm]1/2x^2 +C = ln(-1)[/mm]
>
> Aber das führt in die Irre....;-(
Das stimmt. Oben kommst du zum Ziel.
>
> Viele Grüße, Andreas
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo kroni, das konnte ich super nachvollziehen und ist sehr aufschlussreich.
> Hier machst du deinen Fehler: Du hast ein bestimmtes
> Integral, da gibt es keine Integrationskonstante, weil sich
> diese weghebt.
Ich habe mal gelernt, dass man nach der Trennung von Variablen anschließend immer eine unbestimmte Integration auf beiden Seiten durchführt. Ist das etwa nicht so?
Oder hängt das von der Anfangsbedingung ab? Aber die habe ich doch auch immer vorgegeben...
Ansonsten habe ich alles soweit verstanden Du hast es super vorgerechnet. Vielen Dank noch einmal.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> Hallo kroni, das konnte ich super nachvollziehen und ist
> sehr aufschlussreich.
>
> > Hier machst du deinen Fehler: Du hast ein bestimmtes
> > Integral, da gibt es keine Integrationskonstante, weil sich
> > diese weghebt.
>
> Ich habe mal gelernt, dass man nach der Trennung von
> Variablen anschließend immer eine unbestimmte Integration
> auf beiden Seiten durchführt. Ist das etwa nicht so?
Doch dem ist so.
>
> Oder hängt das von der Anfangsbedingung ab? Aber die habe
> ich doch auch immer vorgegeben...
>
> Ansonsten habe ich alles soweit verstanden Du hast es super
> vorgerechnet. Vielen Dank noch einmal.
>
> Viele Grüße, Andreas
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Andreas,
> Hallo kroni, das konnte ich super nachvollziehen und ist sehr aufschlussreich.
> > Hier machst du deinen Fehler: Du hast ein bestimmtes
> > Integral, da gibt es keine Integrationskonstante, weil sich
> > diese weghebt.
> Ich habe mal gelernt, dass man nach der Trennung von Variablen anschließend immer eine unbestimmte Integration auf beiden Seiten durchführt. Ist das etwa nicht so?
jop - wurde ja auch schon bestätigt
> Oder hängt das von der Anfangsbedingung ab? Aber die habe ich doch auch immer vorgegeben...
nicht immer - wenn man eine allgemeine Lösung einer DGL haben möchte, dann werden keine Anfangsbedingungen vorgegeben. Auch kann man nicht immer sagen, dass y(0)=0 sein muss. Das sind Spezialfälle.
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also dass ich das so gerechnet habe und keine allgemeine Integration gemacht habe liegt daran, dass ich Physiker bin ;) Da ist eg. immer sowas wie y(0) gegeben, bzw man kann es sich vorgeben, und dann ist es kein Problem, das so zu rechnen. Dann kommst du auch so zum Ziel.
Ansonsten ist glaube ich wirklich das mit der Integrationskonstante "richtig".
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Herby |
Lieber Kroni,
entschuldige bitte, wenn ich jetzt indiskret werden sollte 
> Hi,
>
> also dass ich das so gerechnet habe und keine allgemeine
> Integration gemacht habe liegt daran, dass ich Physiker
bitte, bleib der Kroni, der sich einer Aufgabe stellt und das Ganze objektiv betrachtet (nichts spricht dagegen, die eine oder andere Annahme zu machen) - dieses "ich bin Physiker"-Klischee finde ich schrecklich.
Liebe Grüße
Herby
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