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Hallo,
wir haben zum Thema Messbarkeit eine Aufgabe bekommen:
verwenden sie die Abzählbarkeit der Menge der algebraischen Zahlen, um zu zeigen, dass die Menge der transzendenten Zahlen
1) Maß unendlich hat
2) dicht in IR liegt
3) überabzählbar ist
Ich habe hier leider keine Ahnung, wie ich da rangehen könnte. Des Weiteren was genau bedeutet dicht in IR?
Gruß
MM
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=36320
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Jan_Z |
Hi, sprichst du vom Lebesgue-Maß? Dann kann dir folgendes evtl. weiterhelfen (im folgenden ist immer das Lebesgue-Maß gemeint):
zu 1) Da jeder einzelne Punkt aus [mm] \IR [/mm] Maß null hat, hat die Menge der algebraischen Zahlen als abzählbare Vereinigung von Nullmengen Maß Null. Somit hat ihr Komplement, also die transzendenten Zahlen Maß unendlich, da [mm] \IR [/mm] Maß unendlich hat.
zu 2) Dicht in [mm] \IR [/mm] bedeutet, dass du zu jeder reellen Zahl x und jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] eine transzendente Zahl y finden kannst, mit [mm] \left| x-y \right|<\varepsilon. [/mm] Wenn dies nicht gelten würde, könntest du ein [mm] \varepsilon [/mm] finden, sodass im Intervall [mm] [x-\varepsilon,x+\varepsilon] [/mm] nur algebraische Zahlen liegen würden. Ein solches Intervall hat Maß ungleich Null. Da die algebraischen Zahlen Maß Null haben, hat andererseits dieses Intervall als Teilmenge einer Nullmenge Maß Null. Widerspruch. Also liegen die transzendenten Zahlen dicht in [mm] \IR.
[/mm]
zu 3) Wenn die transzendenten Zahlen abzählbar wären, hätten sie Maß Null (siehe 1)).
Im Fall eines beliebigen endlichen Maßes kann man sich überlegen, dass höchstens endlich viele Punkte Maß ungleich Null haben können.
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Aber die transzendenten Zahlen sind doch auf in IR enthalten, oder?
Dann wären sie doch auch eine Vereinigung von Nullmengen? Und wieso sind die transzendenten Zahlen das Komplement der algebraischen Zaheln? Ich habe zuvor noch nie so wirklich davon gehört. Deshalb finde ich es verwunderlich, dass nun solche Begriffe in der Aufgabe auftauchen.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Di 10.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo MM,
nach Definition sind Zahlen entweder algebraisch oder transzendent. Damit also gegenseitig das Komplement. Es gibt halt überabzählbar viele transzendente Zahlen, daher ist dann das Maß nicht Null.
Max
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Okay danke,
aber was ist nun an der Begründung falsch, dass die transzendenten Zahlen auch alle in IR liegen und somit jede einzelne Zahl Maß null hat und somit die Vereinigung Maß 0 hat?
Was ich nicht ganz verstehe ist, dass eine Vereinigung von Zahlen überhaupt Maß 0 hat, eine Gerade vesteht doch auch "nur" aus Punkten und hat trotzdem eine Länge.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nur das Maß einer abzählbaren Vereinigung von Nullmengen hat wieder das Maß $0$!
Sonst hättest du natürlich Recht: Da jede Menge Vereinigung ihrer Punkte ist, hätte dann jede Teilmenge des [mm] $\IR^d$ [/mm] das Lebesgue-Maß $0$, was Quatsch ist.
Also, die Beziehung
[mm] $P\left(\bigcup\limits_{i \in I}N_i \right) \le \sum\limits_{i \in I}P(N_i)=0$
[/mm]
für [mm] $P(N_i)=0$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt nur für abzählbare Indexmengen $I$.
Viele Grüße
Julius
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Okay, mir ist nun alles einleuchtend bis auf eine Sache:
Das Intervall [x- [mm] \varepsilon; [/mm] x+ [mm] \varepsilon], [/mm] wieso hat dieses Intervall Maß ungleich 0? Es würde ja aus algebraischen Zahlen bestehen und abzählbar sein!?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, jedes echte Intervall besitzt abzählbar viele algebraische und überabzählbar viele transzendente Zahlen. Das Lebesgue-Maß des von dir angegebenen Intervalls ist ja gerade [mm] $2\varepsilon>0$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Wo ist denn jetzt der Unteschied zwischen "echten" Intervallen und z.B dem Intervall, dass von mir angegeben wurde?
Also was macht ein "echtes" Intervall aus?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mit "echten" Intervallen meine ich Intervalle, die nicht "entartet" (furchtbarer Begriff ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ) sind wie
$[3,3] [mm] =\{3\}$, [/mm]
also Intervallen, die nur aus einem Punkt bestehen. Alle Intervalle, die aus mehr als einem Punkt bestehen, also "echte" Intervalle, haben positives Lebesgue-Maß.
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
aber wie ich schon vorher erwähnte:
Wieso wird eine Vereinigung von Punktmengen nicht als "richtige" Menge , also ein richtiges Intervall gesehen? Der Vergleich, der mir im Kopf schwirrt ist das Beispiel mit der Geraden, die ja auch aus Punkte besteht. Konkret: Wenn ich nun die Punkte zwischen 1 und 3 nehme wäre es doch das Intervall [1,3]. Nach deinem Satz hätte es Lebesguemaß 3, nach dem Satz, dass eine Vereinigung von Nullmengen (die einzelnen Punkte) hätte es L-Maß 0.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Wieso wird eine Vereinigung von Punktmengen nicht als
> "richtige" Menge , also ein richtiges Intervall gesehen?
> Der Vergleich, der mir im Kopf schwirrt ist das Beispiel
> mit der Geraden, die ja auch aus Punkte besteht. Konkret:
> Wenn ich nun die Punkte zwischen 1 und 3 nehme wäre es doch
> das Intervall [1,3]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach deinem Satz hätte es Lebesguemaß
> 3,
Nein, $2$.
> nach dem Satz, dass eine Vereinigung von Nullmengen (die
> einzelnen Punkte) hätte es L-Maß 0.
Wie gesagt: Nur abzählbare Vereinigungen von Nullmengen haben sicher das Lebesgue-Maß $0$. Hier handelt es sich aber um eine überabzählbare Vereinigung von Nullmengen. Solche müssen nicht automatisch ein Lebesgue-Maß größer als $0$ besitzen (Gegenbeispiel: Cantormenge), aber sie tun es jedenfalls dann, wenn sie innere Punkte besitzen, wie ein Intervall in [mm] $\IR$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Und wie begründe ich, dass das Intervall [1,3] eine überabzählbare Vereinigung von Nullmengen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt doch
$[1,3] = [mm] \bigcup_{x \in [1,3]} \{x\}$,
[/mm]
und das Intervall $[1,3]$ besteht aus überabzählbar vielen reellen Zahlen.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
dann vielen Dank für die zahlreichen Antworten.
Gruß
MM
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Hallo,
hätte da noch eine Frage dazu und zwar wie hängt den das Maß mit der Abzählbarkeit zusammen?
Kann man aus Maß unendlich folgern, dass die Menge unabzählbar ist und umgekehrt?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Abzählbare Mengen haben immer das Lebesgue-Maß null, wohingegen die Umkehrung falsch ist:
Die Cantormenge ist überabzählbar und hat ebenfalls das Lebesgue-Maß null.
Viele Grüße
Julius
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