Transversalen eines Dreiecks < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:34 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Gegeben sei das Dreieck ABC durch die Vektoren AB=a und AC=b. Auf der Strecke AC liegt ein Punkt E, auf der Strecke BC ein Punkt D. Die Transversalen AD und BE teilen sich im Verhältnis 3:1. Berechne, in welchem Verhältnis D die Strecke BC und E die Strecke AC teilt! |
http://s7.directupload.net/file/d/2468/eg7zpxfg_jpg.htm
Unter dem Link findet ihr eine Skizze, leider wird man etwas von der Werbung erschlagen, aber zur besseren Orientierung ist die Skizze vielleicht ganz hilfreich!
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> Gegeben sei das Dreieck ABC durch die Vektoren AB=a und
> AC=b. Auf der Strecke AC liegt ein Punkt E, auf der Strecke
> BC ein Punkt D. Die Transversalen AD und BE teilen sich im
> Verhältnis 3:1. Berechne, in welchem Verhältnis D die
> Strecke BC und E die Strecke AC teilt!
> http://s7.directupload.net/file/d/2468/eg7zpxfg_jpg.htm
>
> Unter dem Link findet ihr eine Skizze
Hallo Amicus,
welche eigenen Überlegungen hast du dir denn schon
gemacht ?
Trotzdem ein Tipp:
da solche Aufgaben grundsätzlich von der konkreten
Form des Dreiecks (Winkel) unabhängig sind, kann
man z.B. annehmen, dass das Dreieck ABC gleichseitig
sei. Da im Beispiel außerdem die Teilverhältnisse auf
beiden Transversalen gleich sein sollen, kann man
auf eine Axialsymmetrie bezüglich der Höhe [mm] h_c
[/mm]
schließen.
LG Al-Chw.
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> Gegeben sei das Dreieck ABC durch die Vektoren AB=a und
> AC=b. Auf der Strecke AC liegt ein Punkt E, auf der Strecke
> BC ein Punkt D. Die Transversalen AD und BE teilen sich im
> Verhältnis 3:1. Berechne, in welchem Verhältnis D die
> Strecke BC und E die Strecke AC teilt!
> http://s7.directupload.net/file/d/2468/eg7zpxfg_jpg.htm
>
> Unter dem Link findet ihr eine Skizze
Hallo Amicus,
welche eigenen Überlegungen hast du dir denn schon
gemacht ?
Trotzdem ein Tipp:
da solche Aufgaben grundsätzlich von der konkreten
Form des Dreiecks (Winkel) unabhängig sind, kann
man z.B. annehmen, dass das Dreieck ABC gleichseitig
sei. Da im Beispiel außerdem die Teilverhältnisse auf
beiden Transversalen gleich sein sollen, kann man
auf eine Axialsymmetrie bezüglich der Höhe [mm] h_c
[/mm]
schließen.
Korrektur:
Möglicherweise habe ich, durch die quantitativ nicht
zutreffende Figur (obiger Link) und den Aufgabentext
"Die Transversalen AD und BE teilen sich im Verhältnis 3:1"
in die Irre geführt, einen falschen Schluss gezogen.
Ich hatte angenommen, dass der Punkt S die Strecken
AD und BE jeweils im gleichen Verhältnis 3:1 teilt.
Nach den Zahlenangaben in der Figur soll aber wohl
BE im Verhältnis 1:3 (und nicht 3:1) geteilt werden.
Welchen Angaben soll man nun vertrauen ?
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ich hab mir üerlegt, dass im Dreieck die Summe der Seiten AB+BE+EA=0 ist. Dann hab ich die Vektoren eingesetzt:
[mm] a+(-a+\lambda b)-\lambda [/mm] b=0
Wenn man dann umformt, kommt allerdings 0=0 raus, was zwar stimmt, mich aber nicht wirklich weiterbringt!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Bei meiner Figur habe ich tatsächlich bei BE das Teilungsverhältnis falsch drangeschrieben. Im Text stehts richtig!
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> Bei meiner Figur habe ich tatsächlich bei BE das
> Teilungsverhältnis falsch drangeschrieben. Im Text stehts
> richtig!
O.K.
In diesem Fall kannst du meinen Tipp bezüglich Symmetrie
doch anwenden, und du hast nur eine Unbekannte.
E und D teilen dann ihre jeweiligen Dreiecksseiten auch
im gleichen (aber noch unbekannten) Verhältnis.
Setze z.B. [mm] $\overrightarrow{AE}\ [/mm] =\ [mm] x*\overrightarrow{AC}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{BD}\ [/mm] =\ [mm] x*\overrightarrow{BC}$
[/mm]
Drücke nun die drei Seitenvektoren des Dreiecks ABS
(so gerichtet, dass ihre Summe den Nullvektor ergibt)
mittels [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] und $\ x$ aus und schau, wie du
aus der entstehenden Gleichung den Wert von x ermitteln
kannst.
Die Methode sollte auch funktionieren, wenn man
zuerst unterschiedliche Faktoren x und y nimmt, also
[mm] $\overrightarrow{AE}\ [/mm] =\ [mm] x*\overrightarrow{AC}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{BD}\ [/mm] =\ [mm] y*\overrightarrow{BC}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Dadurch, dass sich die Transversalen im gleichen Verhältnis teilen, teilen auch die Punkte D und E ihre Seite im gleichen Verhältnis, okay.
[mm] \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AS}=\vec{0}
[/mm]
<=> [mm] \vec{a}+\bruch{3}{4}(-\vec{a}+\lambda \vec{b})-\bruch{3}{4}(\vec{a}+\lambda(-\vec{a}+\vec{b}))=\vec{0}
[/mm]
<=> [mm] \vec{a}(1-\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{4} \lambda)+\vec{b}(\bruch{3}{4} \lambda-\bruch{3}{4} \lambda)=\vec{0}
[/mm]
LGS:
[mm] \bruch{3}{4} \lambda=\bruch{3}{4} \lambda [/mm] (w)
[mm] 1-\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}=-\bruch{3}{4} \lambda
[/mm]
<=> [mm] \bruch{2}{3}=\lambda
[/mm]
=> D und E teilen ihre Strecken im Verhältnis 2:1!
Stimmt das so?
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> Dadurch, dass sich die Transversalen im gleichen
> Verhältnis teilen, teilen auch die Punkte D und E ihre
> Seite im gleichen Verhältnis, okay.
>
> [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AS}=\vec{0}[/mm]
>
> <=> [mm]\vec{a}+\bruch{3}{4}(-\vec{a}+\lambda \vec{b})-\bruch{3}{4}(\vec{a}+\lambda(-\vec{a}+\vec{b}))=\vec{0}[/mm]
>
> <=> [mm]\vec{a}(1-\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}+\bruch{3}{4} \lambda)+\vec{b}(\bruch{3}{4} \lambda-\bruch{3}{4} \lambda)=\vec{0}[/mm]
>
> LGS:
>
> [mm]\bruch{3}{4} \lambda=\bruch{3}{4} \lambda[/mm] (w)
> [mm]1-\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}=-\bruch{3}{4} \lambda[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{2}{3}=\lambda[/mm]
>
> => D und E teilen ihre Strecken im Verhältnis 2:1!
>
> Stimmt das so?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") yep
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 21.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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