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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Sa 04.11.2006 | | Autor: | NoIQ |
| Aufgabe | Zu [mm] A=(a_i_j) \in K^m^x^n [/mm] wird die Transponierte [mm] A^t=(a'_i_j) \in K^n^x^m [/mm] definiert durch [mm] a'_i_j:= a_j_i [/mm]. Zeigen Sie:
a) Für alle [mm] A,B \in K^m^x^n [/mm] gilt [mm] (A+B)^t =A^t [/mm] + [mm] B^t
[/mm]
b) Für alle A [mm] \in K^{mxn} [/mm] , B [mm] \in K^{nxp} [/mm] gilt [mm] (AB)^t = B^tA^t [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe zu dieser Aufgabe zwar einige Ideen aber ich bin mir nicht sicher ob ich das so machen darf. Also es gibt ja [mm] A^t=(a'_{ij})[/mm] mit [mm] a'_{ij}:=a_{ji} [/mm] und ich würde sagen gleiches gilt für [mm] B^t=(b'_{jk})[/mm] [mm] b'_{jk}=b_{kj}[/mm]. Kann ich dann sagen:
[mm] A^t=(a_{ji})'[/mm] und [mm]B^t=(b_{kj})'[/mm] und bestimmen
[mm](AB)^t=s'_{ki}[/mm] mit [mm]s'_{ki}=\summe_{j=1}^{n} a'_{ij}b'_{jk}[/mm]
sagen [mm]AB=s_{ik}[/mm] mit [mm]s_{ik}=\summe_{j=1}^{n} b_{kj}a_{ji}[/mm] laut Definition. [mm] s'_{ki}=(s_{ik})'[/mm]
[mm] s'_{ki}=\summe_{j=1}^{n}a'_{ij}b'_{jk}
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}(b_{kj}a_{ji})'
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}(b_{kj})'(a_{ji})'
[/mm]
[mm] =B^t A^t[/mm]
[/mm]
Um ganz ehrlich zu sein, je mehr ich darüber nachdenke desto weniger versteh ich selbst, was ich gemacht habe. Irgendwie bringt mich die Definition a':=a durcheinander. Und Teilaufgabe a) hab ich ähnlich versucht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Vorraus und Schöne Grüße
NoIQ
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Hallo no_iq,
> Zu [mm]A=(a_i_j) \in K^m^x^n[/mm] wird die Transponierte
> [mm]A^t=(a'_i_j) \in K^n^x^m[/mm] definiert durch [mm]a'_i_j:= a_j_i [/mm].
> Zeigen Sie:
> a) Für alle [mm]A,B \in K^m^x^n[/mm] gilt [mm](A+B)^t =A^t[/mm] + [mm]B^t[/mm]
> b) Für alle A [mm]\in K^{mxn}[/mm] , B [mm]\in K^{nxp}[/mm] gilt [mm](AB)^t = B^tA^t[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> ich habe zu dieser Aufgabe zwar einige Ideen aber ich bin
> mir nicht sicher ob ich das so machen darf. Also es gibt ja
> [mm]A^t=(a'_{ij})[/mm] mit [mm]a'_{ij}:=a_{ji}[/mm] und ich würde sagen
> gleiches gilt für [mm]B^t=(b'_{jk})[/mm] [mm]b'_{jk}=b_{kj}[/mm]. Kann ich
> dann sagen:
> [mm]A^t=(a_{ji})'[/mm] und [mm]B^t=(b_{kj})'[/mm] und bestimmen
Nein! Zu b):
Du wählst feste Indizes - sagen wir $s,t, 1 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] p, 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] n$. Dann berechne das Element [mm] $(B^tA^t)_{st}$. [/mm] In der Summe ersetzt Du [mm] $b^{'}_{sk}$ [/mm] durch [mm] $b_{ks}$ [/mm] und [mm] $a^{'}_{kt}$ [/mm] durch [mm] $a_{tk} [/mm] und vertauschst beide Faktoren.
[mm] $((AB)^t)_{st}=(AB)_{ts}$ [/mm] ggf. ausrechnen und beides miteinander vergleichen...
Hth
zahlenspieler
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