Transponierte Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:52 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Es sei A = (A_(ji)) eine n x m Matrix über [mm] \IR. [/mm] Die Transponierte [mm] A^T [/mm] von A ist die m x n Matrix (a_(ji)). Die transponierte Matrix hat also als Zeilen die Spalten der ursprünglichen Matrix.
Es sei A nun eine quadratische n x n Matrix. Wir nennen A symmetrisch falls A = [mm] A^T. [/mm] Ferner heißt A positiv definit falls x^TAx > 0 für alls 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt.
a) Beweisen sie, dass für eine symmetrische, positiv definite und quadratische n x n Matrix A durch <x,y>_A := x^TAy ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] definiert ist.
b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass durch [mm] ||x||_A [/mm] := [mm] \sqrt{_A} [/mm] eine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] definiert ist. Es sei nun A = [mm] \pmat{7 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 2 \\ -8 & 2 & 17} [/mm] eine symmetrische und positiv definite Matrix (dies braucht nicht gezeigt zu werden). Berechne sie [mm] ||x||_A [/mm] für einen beliebigen Vektor x [mm] \in \IR^3. [/mm] |
Hallo,
Wie jede Woche kommt Freitags eine Flut neuer Aufgabe rein, welche bis nächste Woche Dienstag erledigt werden müssen, doch leider sieht es bei mir diese Woche mit dem Verständnis eher schlecht aus...
Zur Aufgabe:
Bei der a) habe ich im Grunde nicht wirklich was verstanden. Ich soll beweisen, dass eine positiv definite und quadratische Matrix durch <x,y>_A := x^TAy ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] definiert?! Habe ich quasi nix verstanden, leider....
Bei der b) Dachte ich mir, einen Vektor ausrechnen kann ich, doch beim näheren durchlesen viel mir auf, dass A eine POSITIV definite Matrix sein soll, aber in A kommen doch minus Zahlen vor?! Das hat mich schonmal verwirrt, ansonsten kann ich die Matrix doch mit dem Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] multiplizieren und das resultierende Gleichungssystem durch einsetzten von 2 Parametern lösen, und mir dann einen beliebigen Vektor basteln...
Bitte um einen Ansatz für diese Aufgabe.
Gruß Phil
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> Es sei A = (A_(ji)) eine n x m Matrix über [mm]\IR.[/mm] Die
> Transponierte [mm]A^T[/mm] von A ist die m x n Matrix (a_(ji)). Die
> transponierte Matrix hat also als Zeilen die Spalten der
> ursprünglichen Matrix.
> Es sei A nun eine quadratische n x n Matrix. Wir nennen A
> symmetrisch falls A = [mm]A^T.[/mm] Ferner heißt A positiv definit
> falls x^TAx > 0 für alls 0 [mm]\not=[/mm] x [mm]\in \IR^n[/mm] gilt.
> a) Beweisen sie, dass für eine symmetrische, positiv
> definite und quadratische n x n Matrix A durch <x,y>_A :=
> x^TAy ein Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] definiert ist.
> b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass durch [mm]||x||_A[/mm] :=
> [mm]\sqrt{_A}[/mm] eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] definiert ist. Es sei
> nun A = [mm]\pmat{7 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 2 \\
-8 & 2 & 17}[/mm] eine
> symmetrische und positiv definite Matrix (dies braucht
> nicht gezeigt zu werden). Berechne sie [mm]||x||_A[/mm] für einen
> beliebigen Vektor x [mm]\in \IR^3.[/mm]
>
> Bei der a) habe ich im Grunde nicht wirklich was
> verstanden.
Hallo,
Du weißt aber, was eine transponierte Matrix ist und kennst ein paar Regeln fürs Rechnen mit Matrizen?
> Ich soll beweisen, dass eine positiv definite
> und quadratische Matrix durch <x,y>_A := x^TAy ein
> Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] definiert?! Habe ich quasi nix
> verstanden, leider....
Da stelle mer uns ganz dumm und fragen: was ist ein Skalarprodukt?
(Nachlesen, Definition hinschreiben, versuchen, eine Bedingung nach der anderen abzuarbeiten.)
> Bei der b) Dachte ich mir, einen Vektor ausrechnen kann
> ich, doch beim näheren durchlesen viel mir auf, dass A
> eine POSITIV definite Matrix sein soll, aber in A kommen
> doch minus Zahlen vor?!
Da mußt Du nun mal schauen, wie "positiv definit" definiert wurde. Allein diese Def. ist maßgeblich, nicht die Def., die Du Dir zusammenreimst.
> Das hat mich schonmal verwirrt,
> ansonsten kann ich die Matrix doch mit dem Vektor [mm]\vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
> multiplizieren und das resultierende Gleichungssystem durch
> einsetzten von 2 Parametern lösen, und mir dann einen
> beliebigen Vektor basteln...
Hm? Sie meinen?
Kannst Du mal (nachschlagen und) sagen, was mit <x,y>_A gemeint ist? </x,y></x,y><x,y>_A=...
Das muß man wissen, sonst hat man natürlich keine Chance.
<x,y><x,y>
>
> Bitte um einen Ansatz für diese Aufgabe.
Erstmal Definitionen nachschlagen.
Das ist der universelle Ansatz für nahezu jede Aufgabe!
LG Angela
>
> Gruß Phil
</x,y></x,y>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 22.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
wie du vorgeschlagen hast, habe ich mich jetzt näher mit den Definitionen beschäftigt, aber ich habe folgendes gefunden:
"Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist genau dann
positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind; " (Zitat: Wikipedia).
> > Bei der b) Dachte ich mir, einen Vektor ausrechnen kann
> > ich, doch beim näheren durchlesen viel mir auf, dass A
> > eine POSITIV definite Matrix sein soll, aber in A kommen
> > doch minus Zahlen vor?!
>
> Da mußt Du nun mal schauen, wie "positiv definit"
> definiert wurde. Allein diese Def. ist maßgeblich, nicht
> die Def., die Du Dir zusammenreimst.
Deshalb verwirren mich die minus Zahlen in dieser Matrix...
Kannst du mir erklären was mit <x,y>_A := [mm] x^T [/mm] Ay gemeint ist? Also <x,y>_A ist das Skalarprodukt der Vektoren x und y?! aber bei derm rechts von dem gleich Zeichen weis ich nicht was gemint ist. Ich finde das nur auf wikipedia und in meinem Sktipt, aber keine erläuterung...
Gruß Phil
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> wie du vorgeschlagen hast, habe ich mich jetzt näher mit
> den Definitionen beschäftigt,
Hallo,
sowas höre ich so außerordentlich gern!
> aber
> ich habe folgendes
> gefunden:
>
> "Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix
> ist genau dann
> positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null
> sind; " (Zitat: Wikipedia).
Ja, das stimmt.
Das, was Du dort gefunden hast, ist aber nicht die eigentliche Definition von "positiv definit". Sondern: lediglich für symmetrische (hermitesche) Matrizen ist Obiges äquivalent dazu.
Dieses Eigenwertkriterium kann man oftmals gut gebrauchen.
Die eigentliche Definition, welche auch für nichtsymetrische Matrizen gilt, ist anders:
A ist positiv definit <==> x^TAx>0 für alle [mm] x\not=0.
[/mm]
(Ich sehe gerade: das steht doch schon in der Aufgabenstellung!!!)
Wir halten im Hinblick auf Dein Eingangspost schonmal fest:
weder im Eigenwertkriterium noch in der Definition steht etwas davon, daß A nur positive Einträge haben darf.
In der Aufgabenstellung steht, daß A:=[mm] \pmat{7 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 2 \\
-8 & 2 & 17} [/mm] positiv definit ist.
Das bedeutet: für alle Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, [/mm] die nicht der Nullvektor sind, gilt
[mm] \vektor{x_1&x_2&x_3}\pmat{7 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 2 \\ -8 & 2 & 17}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}>0.
[/mm]
> Kannst du mir erklären was mit <x,y>_A := [mm]x^T[/mm] Ay gemeint
> ist? Also <x,y>_A ist das Skalarprodukt der Vektoren x und
> y?!
Zu Aufgabe a)
Da Du zeigen sollst, daß "es" ein Skalarprodukt ist, ist es erstmal wichtig, daß Du weißt, was ein Skalarprodukt ist.
(Genau aufschreiben.) Die Bedingungen sind zu prüfen.
Jetzt zum "Es":
A soll eine symmetrische, positiv definite und quadratische n x n Matrix sein.
Nun wird eine Abbildung [mm] <\*,\*>_A [/mm] aus dem [mm] \IR^n\times\IR^n [/mm] in die reellen Zahlen definiert, dh. jedem Paar von Vektoren wird eine reelle Zahl zugeordnet, und zwar geschieht das vermöge der Definition
<x,y>_A:=x^TAy
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Kleiner Einschub mit Beispiel:
A:=[mm]\pmat{ 2 & 1 \\
1 & 2 } [/mm] ist symmetrisch, positiv definit und quadratisch.
(Prüfe "positiv definit" mal anhand der Definition.)
Wir definieren wie oben <x,y>_A:=x^TAy
Es ist z.B. [mm] <\vektor{3\\4},\vektor{5\\6}>_A=\vektor{3&4}[/mm] [mm]\pmat{ 2 & 1 \\
1 & 2 } [/mm] [mm] \vektor{5\\6}=\vektor{10&11}\vektor{5\\6}=116,
[/mm]
und allgemein für [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2}, y:=\vektor{y_1\\y_2} [/mm] bekommen wir
[mm] _A=2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2. [/mm]
Man könnte nun zeigen, daß diese Abbildung alle Eigenschaften eines Skalarproduktes hat, also ein Skalarprodukt ist.
(Kannst Du ja für Dich mal machen.)
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Du hast also eine symmetrische, positiv definite und quadratische Matrix A und die durch <x,y>_A:=x^TAy definierte Abbildung.
Zeige nun die Eigenschaften des Skalarproduktes.
Hinweis : x^TAy ist eine Matrizenmultiplikation, Du kannst den Zeilen- und Spaltenvektor ja als entsprechende Matrix auffassen. Es gelten also die Regeln fürs Multiplizieren von Matrizen.
Versuch's mal.
LG Angela
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