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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:43 Di 09.12.2008 | | Autor: | MartinW |
| Aufgabe | Beweisen Sie: (1) Sind g [mm] \in [/mm] L(V,W), v [mm] \in [/mm] V und eine Basis [mm] (bi)_{i \in I} [/mm] von W gegeben, dann gilt: [mm]
(2) Die lin. Abbildung L(V,W) [mm] \to [/mm] L(W*,V*) g [mm] \mapsto g^{T} [/mm] ist injektiv und genau dann surjektiv, wenn V = 0 oder dim W < [mm] \infty.
[/mm]
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Hallo. Kann mir bei dem Beispiel mit einer Beweisidee helfen? Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich den Beweis angehen sollte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Di 09.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Beweisen Sie: (1) Sind g [mm]\in[/mm] L(V,W), v [mm]\in[/mm] V und eine Basis
> [mm](bi)_{i \in I}[/mm] von W gegeben, dann gilt: [mm]
> 0 für fast alle i [mm]\in[/mm] I.
Wie habt ihr [m]^t[/m] genau definiert? Das hilft als erstes. Ist der letzte Ausdruck (wo kommt denn hier das Skalarprodukt auf einmal her? Ist es eins? Sind die [m]b_i[/m] dann eine ONB?) äquivalent zu [m]g^{T}[/mm] (bi*)(v)=0=b_i*(g(v))[/m]? Dann hilft ja, dass [m]g(v)=\sum_i^n\alpha_ib_i[/m], also eine endliche Summe ist.
> (2) Die lin. Abbildung L(V,W) [mm]\to[/mm] L(W*,V*) g [mm]\mapsto g^{T}[/mm]
> ist injektiv und genau dann surjektiv, wenn V = 0 oder dim
> W < [mm]\infty.[/mm]
Injektiv: Zeige der Kern ist Null! [m]g^t:(w\mapsto l(w))\mapsto (v\mapsto l(g(v)))[/m] (ist das eure Definiton - oder ähnlich?). Falls nun aber [m]g^t = 0[/m] sein soll, musst du nur [m]g=0[/m] folgern.
Surjektiv: V=0 ist ganz klar. Beim Rest: hm. Stimmen da die Vorraussetzungen genau so? Oder muss auch V endlich dimensional sein?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 11.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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