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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Di 11.01.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Es sei V= M(n;K) sowie b [mm] \in [/mm] V fest gewählt. Weiterhin A: V -> V die durch
A(a)=ab-ba definierte lineare Abbildung und f [mm] \in [/mm] V* die Linearform, die einer Matrix ihre Spur zuordnet. Bestimmen Sie [mm] A^{t} [/mm] (f).
Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst, dabei bin ich mir nicht sicher, ob ich den Transponiertenbegriff richtig verstanden bzw. angewendet habe:
Also nach obigen Angaben kann man folgendes schreiben:
V*(a)=Spur(a) => V*: f: V -> K
schreibe: A: V -> [mm] V_{1} [/mm] anstatt A : V -> V
dann ist [mm] A^{t} [/mm] : [mm] V_{1} [/mm] * -> V*
[mm] V_{1} [/mm] * (ab-ba) = Spur (ab-ba) = 0 (Spur (ab-ba) = 0 nach einer vorherigen Übungsaufgabe)
=> [mm] V_{1} [/mm] : [mm] f_{1} [/mm] : V -> 0
=> [mm] A^{t} (f_{1}) [/mm] = Spur (a) , a [mm] \in [/mm] V [mm] (f_{1} [/mm] = f , da A: V -> V)
danke für eure Hilfe
Liebe Grüße, Conny.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Chlors!
Es sind richtige Ansätze vorhanden, allerdings ist das Ganze so chaotisch aufgeschrieben, dass man beim besten Willen nicht durchblicken kann.
Für beliebiges $a [mm] \in [/mm] V$ gilt nach Definition der transponierten Abbildung:
$(A^tf)(a) = f(Aa) = Spur(ab-ba) [mm] =0_{\IK}$,
[/mm]
also:
$A^tf = [mm] 0_{V^{\*}}$,
[/mm]
wobei [mm] $0_{\IK}$ [/mm] die Null im Körper und [mm] $0_{V^{\*}}$ [/mm] die Null im Dualraum darstellen.
Viele Grüße
Julius
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