Transitivität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Sa 18.11.2006 | | Autor: | unwanted |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe A = {a,b,c,d} , nun gebe ich eine Relation R [mm] \not=0 [/mm] an, die:
reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv ist.
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(c,d)}
Wenn dies stimmt...
ich sehe, dass diese Relation reflexiv und nicht symmetrisch ist. Aber warum genau ist sie transitiv?
Ich weiss transitiv bedeutet wenn (a,b) Element und (b,c) Element der Relation ist, dann ist auch (a,c) Element.
Wie sehe ich das nun hier an dieser Relation R?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 18.11.2006 | | Autor: | piet.t |
>
> Ich habe A = {a,b,c,d} , nun gebe ich eine Relation R
> [mm]\not=0[/mm] an, die:
>
> reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv ist.
>
> R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(c,d)}
>
> Wenn dies stimmt...
So weit ich das sehe sollte das stimmen...
>
> ich sehe, dass diese Relation reflexiv und nicht
> symmetrisch ist. Aber warum genau ist sie transitiv?
>
> Ich weiss transitiv bedeutet wenn (a,b) Element und (b,c)
> Element der Relation ist, dann ist auch (a,c) Element.
>
> Wie sehe ich das nun hier an dieser Relation R?
Streng genommen müsste man für alle möglichen Paarungen von Elementen aus R (also Paare von Paaren) überprüfen, ob für diese die Transitivitätsbedingung erfüllt ist.
Allerdings reicht es ja, wenn man nur solche betrachtet, für die der zweite Eintrag im ersten Paar mit dem ersten im zweiten Paar übereinstimmt, d.h. nur solche der Form (x,y),(y,z).
Da gibt es in unserem Fall aber nur zwei Möglichkeiten:
(c,c),(c,d): dann muss auch [mm] (c,d)\in [/mm] R sein -> O.K.
(c,d)(d,d): dann muss auch [mm] (c,d)\in [/mm] R sein -> O.K.
Und mehr ist für die Transitivität in diesem Fall nicht zu prüfen.
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 18.11.2006 | | Autor: | unwanted |
danke piet, ich brauche keinen beweis das dies richtig ist aber ich wollte es doch schon verstehen warum es so ist. danke für die erklärung :)
hier nun noch mal eine frage:
nun soll ich eine relation finden die nicht reflexiv, symmetrisch und nicht transitiv ist mit |R| = 7
kann ich die leere menge auch mit einbeziehen? in der aufgabe steht, R darf nicht die leere menge sein, aber ein element in R kann die leere menge sein?
und ist dann meine lösung rightig? :
R = [mm] {(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,c),(\emptyset)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 So 19.11.2006 | | Autor: | piet.t |
>
> hier nun noch mal eine frage:
>
> nun soll ich eine relation finden die nicht reflexiv,
> symmetrisch und nicht transitiv ist mit |R| = 7
>
> kann ich die leere menge auch mit einbeziehen? in der
> aufgabe steht, R darf nicht die leere menge sein, aber ein
> element in R kann die leere menge sein?
Nein, kein Element von R kann die leere Menge sein, denn R besteht ja nicht aus Mengen sondern aus Paaren von irgendetwas (von Elementen der "Grundmenge" der Relation). Die leere Menge ist ja offensichtlich kein Paar.
>
> und ist dann meine lösung rightig? :
>
> R = [mm]{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,c),(\emptyset)}[/mm]
Nehmen wir mal [mm] \emptyset [/mm] raus, dann passen die Eigenschaften für die übrigen 6 Elemente:
Symmetrisch ist es offensichtlich, ebenso nicht reflexiv. Wenn R transistiv wäre dann müsste wegen (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,a) [mm] \in [/mm] R auch (a,a) in R liegen, tut es also nicht. Damit ist R nicht transitiv.
Jetzt bleibt die Frage, was man als Ersatz für [mm] \emptyset [/mm] nehmen kann.
Wegen der Symmetrie müssten wir entweder wieder 2 Elemente dazunehmen, also (x,y) und (y,x) - dann wäre es aber wieder ein Element zu viel. D.h. es muss ein Paar sein, bei dem das erste und zweite Element gleich sind, z.B. (d,d).
Dann ist R immer noch symmetrisch, es ist nicht reflexiv, denn dann müsste für alle x [mm] \in [/mm] A gleten, dass (x,x) \ in R. Aus dem selben Grund ist R auch nicht transitiv - siehe die Begründung oben.
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 19.11.2006 | | Autor: | unwanted |
das habe ich nun verstanden. vielen dank :)
|
|
|
|
