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Transformationssatz für Dichte: Überprüfung, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 02.05.2021
Autor: Mathe1404

Ich habe die Dichtefunktion [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] * [mm] \frac{1}{x*(1+ln(x)^2)} [/mm] * I(x >0)

Dabei bezeichnet I die charakteristische Funktion.

Nun soll ich eine Funktion g auf [mm] \mathbb{R} [/mm] finden, sodass für eine rechteckverteilte Zufallsvariable U [mm] \sim [/mm] U(0,1) gilt, dass g(U) gemäß f verteilt ist.

------------

Meine Idee und mein Ansatz waren, den Dichtetransformationssatz zu verwenden.  Meine Idee hierbei war, die Funktion g als

g(x) = [mm] e^{tan(\pi * x)} [/mm] zu setzen.

Stimmt das? Mein Problem ist hierbei nämlich, dass der tangens ja nicht auf ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] definiert ist.  Was kann ich da machen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Transformationssatz für Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Idee und mein Ansatz waren, den Dichtetransformationssatz zu verwenden.

Gute Idee, wenn wir damit durch sind, zeig ich dir mal einen anderen Ansatz ohne Dichtetransformation.
Da muss man nachher aber eine DGL lösen.

> Meine Idee hierbei war, die Funktion g als
>  
> g(x) = [mm]e^{tan(\pi * x)}[/mm] zu setzen.

Auf die komm ich auch.

> Stimmt das? Mein Problem ist hierbei nämlich, dass der
> tangens ja nicht auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definiert ist.  Was kann ich da machen?

Warum willst du da überhaupt was machen?
Der Definitionsbereich von $g$ ist doch gar nicht ganz [mm] $\IR$ [/mm] (auch wenn die Aufgabenstellung das behauptet) sondern du stopfst da $U$ rein.
U kommt jetzt aber aus $(0,1)$ und da ist dein [mm] $\tan(\pi [/mm] x)$ problemlos drauf definiert.
Das von dir angesprochene Problem tritt da also gar nicht auf…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Transformationssatz für Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 So 02.05.2021
Autor: Mathe1404

Erstmal vielen Dank :)

> Hiho,
>  
> > Meine Idee und mein Ansatz waren, den
> Dichtetransformationssatz zu verwenden.
> Gute Idee, wenn wir damit durch sind, zeig ich dir mal
> einen anderen Ansatz ohne Dichtetransformation.
>  Da muss man nachher aber eine DGL lösen.

Das klingt gut. Mal ein ganz anderer Ansatz :)

> > Meine Idee hierbei war, die Funktion g als
>  >  
> > g(x) = [mm]e^{tan(\pi * x)}[/mm] zu setzen.
>  Auf die komm ich auch.
>  
> > Stimmt das? Mein Problem ist hierbei nämlich, dass der
> > tangens ja nicht auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definiert ist.  Was
> kann ich da machen?
>  Warum willst du da überhaupt was machen?
>  Der Definitionsbereich von [mm]g[/mm] ist doch gar nicht ganz [mm]\IR[/mm]
> (auch wenn die Aufgabenstellung das behauptet) sondern du
> stopfst da [mm]U[/mm] rein.
>  U kommt jetzt aber aus [mm](0,1)[/mm] und da ist dein [mm]\tan(\pi x)[/mm]
> problemlos drauf definiert.
>  Das von dir angesprochene Problem tritt da also gar nicht
> auf…

Aber kriege ich dann nicht für 1/2 ein Problem? Der Tangens ist ja bei pi/2 nicht definiert. oder ich bin grad durcheinander?

> Gruß,
>  Gono


Bezug
                        
Bezug
Transformationssatz für Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber kriege ich dann nicht für 1/2 ein Problem? Der
> Tangens ist ja bei pi/2 nicht definiert. oder ich bin grad
> durcheinander?

nö du hast schon recht.
Ich komme mit meinem Ansatz aber auf $g(x) = [mm] e^{\tan(c + \pi \cdot{} x)} [/mm] $ wobei c eine Konstante abhängig von den Parametern ist.

Ich weiß jetzt nicht genau, wo sich das bei der Transformationsformel wiederfindet, bin mir aber recht sicher, dass man da auch problemlos "shiften" kann, also trotz Verschiebung zum selben Ergebnis kommt.

D.h. du wählst  $g(x) = [mm] e^{\tan(\pi \cdot{} x - \frac{\pi}{2})} [/mm]  = [mm] e^{\tan(\pi \cdot{} (x - \frac{1}{2}))} [/mm] $ ohne was am Endergebnis zu ändern und ohne ein Problem zu haben.

Gruß,
Gono

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