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| Aufgabe | Berechnen sie den Wert des Integrals [mm] \integral_{G}^{}{x^{2}+y^{2} dydx}
[/mm]
Für den Integrationsbereich
[mm] G:={(x,y)\in\IR^{2} | |x|\ge 1 oder |y|\ge 1, x^{2}+y^{2}\le 2}
[/mm]
in Polarkoordianten. |
Ok, Polarkoordianten bedeuten:
[mm] x=rcos(\alpha)
[/mm]
[mm] y=rsin(\alpha)
[/mm]
Die neue Menge [mm] M={(r,\alpha)\in \IR^{2} | |rcos(\alpha)|\ge 1 oder |rsin\alpha| \ge 1^, r^{2}\le 2}
[/mm]
daraus folgt: [mm] M={(r,\alpha)\in \IR^{2} | \alpha \ge \bruch{\pi}{4}, r\le \wurzel{2}}
[/mm]
nun also da Integral:
|det [mm] \vec{x}'|=r [/mm] bei Polarkoordinaten
[mm] \integral_{M}^{}{r^{2}*r drd\alpha}
[/mm]
=> [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{2\pi}{r^{3} d\alpha} dr}
[/mm]
=> [mm] \bruch{7\pi}{4}*\bruch{r^{4}}{4}|_{0}^{\wurzel{2}}=\bruch{7}{4}\pi
[/mm]
Ist das so richtig, kommt mir doch arg seltsam vor. Vor allem bei der obenen Grenze von [mm] \alpha [/mm] hab ich da so meine Zweifel.
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[mm]G[/mm] verstehe ich nicht. Werden bei solchen Beschreibungen Kommata gesetzt, sind diese üblicherweise als logisches "und" zu lesen. Und "und" bindet stärker als "oder". Damit wäre [mm]G[/mm] die folgende Menge:
[mm]G = \left\{ \left. \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ \ |x| \geq 1 \ \vee \ \left( \ |y| \geq 1 \ \wedge \ x^2 + y^2 \leq 2 \ \right) \ \right\}[/mm]
Dieser Bereich ist aber unbeschränkt!
Vermutlich wird also das Folgende gemeint sein:
[mm]G = \left\{ \left. \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ \left( \ |x| \geq 1 \ \vee \ |y| \geq 1 \ \right) \ \wedge \ x^2 + y^2 \leq 2 \ \right\}[/mm]
Da sollte also zunächst die Klammersetzung geklärt werden.
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Also, was gemeint ist:
G = { (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] (|x|\ge [/mm] 1 oder [mm] |y|\ge [/mm] 1) und [mm] (x^{2}+y^{2}\le [/mm] 2) }
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Dann besteht [mm]G[/mm] aus vier Kreissegmenten, die bezüglich der Koordinatenachsen und der Geraden [mm]y=x[/mm] und [mm]y=-x[/mm] symmetrisch liegen. Da der Integrand unter diesen Symmetrien invariant ist (wenn man also [mm]x[/mm] durch [mm]-x[/mm] oder [mm]y[/mm] durch [mm]-y[/mm] substituiert oder die Variablen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] vertauscht), genügt es, über das halbe Segment zu integrieren, das im I. Quadranten unterhalb der Geraden [mm]y=x[/mm] liegt, und den Integralwert zu verachtfachen, das wäre also die Menge [mm]\tilde{G}[/mm] aller [mm](x,y) \in G[/mm] mit zusätzlich [mm]x \geq 1[/mm] und [mm]y \geq 0[/mm]:
[mm]\int_G \left( x^2 + y^2 \right)~\mathrm{d}(x,y) \ = \ 8 \int_{\tilde{G}} \left( x^2 + y^2 \right)~ \mathrm{d}(x,y) \ = \ \ldots \ = \ 2 \pi - \frac{8}{3}[/mm]
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Ok, das mit den Symmetrien hab ich verstanden, aber wie genau lautet denn dann die Menge G' und wie drücke ich das in Polarkoordinaten aus?
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Zunächst einmal solltest du dir ein Bildchen malen. Ohne geht das nicht.
Jetzt betrachte einen Strahl, der vom Nullpunkt ausgeht und nach rechts zeigt. Drehe ihn langsam gegen den Uhrzeigersinn. Für welche Winkel [mm]\alpha[/mm] schneidet der Strahl die Menge [mm]\tilde{G}[/mm]? Das gibt dir das Integrationsintervall für die Variable [mm]\alpha[/mm] (äußere Integration).
Und dann denke dir einen dieser Winkel [mm]\alpha[/mm] fest. Welche Abstände [mm]r[/mm] vom Ursprung haben die Punkte von [mm]\tilde{G}[/mm]? Das gibt dir das Integrationsintervall für die Variable [mm]r[/mm] (innere Integration). Die Intergrationsgrenzen des inneren Integrals hängen von [mm]\alpha[/mm] ab. Zur Bestimmung der unteren Grenze beachte den aus der Schule bekannten Strahlensatz.
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