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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:01 Di 09.12.2008 | | Autor: | fuzzy-bear |
| Aufgabe | | Wie formulieren Mathematiker die "Plastizität", durch die topologisch äquivalente "Objekte" ineinander transformiert werden können? |
Hallo,
als Hobbymathematiker habe ich mich mal ein bisschen mit Topologie befasst, und dabei kam die Frage auf, wie es eigentlich möglich ist, "Knetmasse" mathematisch zu beschreiben.
Sprich: Ich verstehe, dass eine Kugel mit einem Henkel bzw. die Oberfläche einer Kaffeetasse einem Torus entspricht (bezüglich der Lage von Punkten zueinander). Allerdings bleibt mir schleierhaft, wie die "Gebote" zum Transformieren (Auseinanderziehen erlaubt, Schneiden und Kleben verboten) in der strengen Sprache der Mathematik aussehen sollen.
Formeln dieser Art würden mich sehr entzücken - auch wenn ich sie wahrscheinlich nicht verstehe ;o)
Auf jeden Fall danke vorab für jegliche Erleuchtung.
Gruß
fuzzy-bear
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Di 09.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wie formulieren Mathematiker die "Plastizität", durch die
> topologisch äquivalente "Objekte" ineinander transformiert
> werden können?
> als Hobbymathematiker habe ich mich mal ein bisschen mit
> Topologie befasst, und dabei kam die Frage auf, wie es
> eigentlich möglich ist, "Knetmasse" mathematisch zu
> beschreiben.
Durch Homöomorphismen. Das sind bijektive Abbildungen, die in beiden Richtungen "Nähe erhalten" (d.h. stetig sind).
> Sprich: Ich verstehe, dass eine Kugel mit einem Henkel bzw.
> die Oberfläche einer Kaffeetasse einem Torus entspricht
> (bezüglich der Lage von Punkten zueinander). Allerdings
> bleibt mir schleierhaft, wie die "Gebote" zum
> Transformieren (Auseinanderziehen erlaubt, Schneiden und
> Kleben verboten) in der strengen Sprache der Mathematik
> aussehen sollen.
>
> Formeln dieser Art würden mich sehr entzücken - auch wenn
> ich sie wahrscheinlich nicht verstehe ;o)
Mathematisch gesehen sind Homöomorphismen sehr einfach zu definieren und (formal) zu verstehen, schau einfach auf Wikipedia. Aber warum die ein gutes Modell sind für diese "Gummi-Denkweise" wird sich dir wohl erst erschließen, wenn du dich ernsthafter damit beschäftigst.
Edit: Schneiden und Kleben sind übrigens ganz und gar nicht "verboten". Man muss nur nach dem zerschneiden die Nahtstellen wieder auf dieselbe Weise miteinander verkleben. Außerdem entstehen viele interessante topologische Räume erst durch "Verkleben", d.h. identifizieren von Punkten. Diese Identifikation kann man übrigens völlig willkürlich machen, das Ergebnis ist immer wieder ein (mathematisch "wohldefinierter") topologischer Raum. Dabei können aber völlig wilde Sachen entstehen, der neue Raum wird i.A. keine Eigenschaften vom alten Raum erben - das ist sozusagen die die Büchse der Pandora in der Topologie... 
Gruß, Robert
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