Transformationsmatrix finden < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mi 01.05.2013 | | Autor: | lexxy |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Dreieck durch seine Koordinaten A(0, 0), B(40, 10) und C(20, 30). Dieses Dreieck wurde transformiert in seine neuen Koordinaten A'(120, 45), B'(80, 55) und C'(100,75). Benennen Sie die Transformation, die diese Abbildung durchgeführt hat und finden Sie die Transformationsmatrix. |
Hallo!
Die Lösung dieser Aufgabe scheint meiner Meinung nach die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu sein. Allerdings scheitere ich daran, ein geeignetes lineares Gleichungssystem dafür aufzustellen. Es scheint irgendwie auf Ausgangskoordinaten * Transformationsmatrix = neue Koordinaten hinauszulaufen, aber mathematisch darstellen kann ich das leider nicht.
Ich bitte um Rat :)
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> Gegeben sei ein Dreieck durch seine Koordinaten A(0, 0),
> B(40, 10) und C(20, 30). Dieses Dreieck wurde transformiert
> in seine neuen Koordinaten A'(120, 45), B'(80, 55) und
> C'(100,75). Benennen Sie die Transformation, die diese
> Abbildung durchgeführt hat und finden Sie die
> Transformationsmatrix.
> Hallo!
>
> Die Lösung dieser Aufgabe scheint meiner Meinung nach die
> Lösung eines linearen Gleichungssystems zu sein.
> Allerdings scheitere ich daran, ein geeignetes lineares
> Gleichungssystem dafür aufzustellen. Es scheint irgendwie
> auf Ausgangskoordinaten * Transformationsmatrix = neue
> Koordinaten hinauszulaufen, aber mathematisch darstellen
> kann ich das leider nicht.
>
Hallo lexxy,
ich würde dir sehr empfehlen, dir zuerst eine exakte
Zeichnung zu erstellen und dir diese anzuschauen.
Ich hoffe, dass bei euch das Zeichnen und Anschauen
bei Aufgaben mit geometrischem Inhalt noch nicht
verboten ist (wie das offenbar an manchen Orten
anscheinend und äußerst bedauerlicherweise der
Fall ist ... ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") ).
Dann geht dir wohl ein Licht auf darüber, wie man
das erste Dreieck durch ganz simple Transformationen
in das zweite überführen kann. Diese durch Matrizen
und Verschiebungen zu beschreiben ist dann wesentlich
einfacher als mit einem "blinden" allgemeinen Ansatz !
LG , Al-Chw.
Übrigens:
Dein Ansatz mit
Ausgangskoordinaten * Transformationsmatrix = neue Koordinaten
kann nicht funktionieren, weil z.B. der Nullpunkt A(0|0) durch
eine solche Multiplikation wieder auf den Nullpunkt und
also nicht auf den Punkt A'(120|45) abgebildet werden
kann. Man braucht außer der Matrixmultiplikation noch
eine zusätzliche Verschiebung !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 01.05.2013 | | Autor: | lexxy |
Hallo Al-Chwarizmi!
Vielen Dank für deine Antwort!
Zeichnen steht bei mir leider auch nicht zur Auswahl :( Ich habs jetzt mal probiert (hier: http://i.imgur.com/yUvBwGh.png) und kann erkennen, dass eine Rotation und eine Translation vorliegt. Damit wäre die erste Hälfte der Aufgabe gelöst.
Da die Aufgabe eine einzige Transformationsmatrix fordert, vermute ich dass man an der Stelle mit homogenen Koordinaten arbeiten muss, da sich die Operationen aufgrund der Assoziativität von Matrixmultiplikationen zu einer einzigen Matrix zusammenfassen lässt. Leider weiß ich auch nicht nicht mehr weiter.
Vielen Dank für die Hilfe und schönen Gruß in die Schweiz :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> Zeichnen steht bei mir leider auch nicht zur Auswahl :(
Es ist wirklich ungeheuerlich, welch bekloppte Leute
heute offenbar dazu kommen, Mathematik, und dabei
auch Geometrie, zu unterrichten ! Diese depperten
Kerle glauben offenbar, dass man einem Studenten
Geometrie am besten beibringt, indem man ihm zunächst
einmal jegliche Anschauung und allfällige weitere Reste
gesunden Menschenverstandes radikal austreibt !
> Ich habs jetzt mal probiert
> (hier: http://i.imgur.com/yUvBwGh.png) und kann
> erkennen, dass eine Rotation und eine Translation
> vorliegt. Damit wäre die erste Hälfte der Aufgabe
> gelöst.
Wenn du auch noch die Eckpunkte beschriftet und
ganz genau hingeguckt hättest, hättest du gemerkt,
dass es sich um eine (sehr einfache) Spiegelung
(nicht Rotation !) und eine Verschiebung handeln muss.
Man kann auch (durch ganz wenig Kopfrechnen) sehr
leicht die zahlenmäßige Lösung ermitteln.
Dies wäre doch wenigstens eine grandiose Hilfe,
und zwar auch dann, wenn zuguterletzt ein rein
rechnerischer Lösungsweg gefragt ist.
> Da die Aufgabe eine einzige Transformationsmatrix fordert,
> vermute ich dass man an der Stelle mit homogenen
> Koordinaten arbeiten muss, da sich die Operationen aufgrund
> der Assoziativität von Matrixmultiplikationen zu einer
> einzigen Matrix zusammenfassen lässt.
Falls man mit einer einzigen Matrix (und ohne zusätz-
liche Translation) auskommen soll, dann ist das so.
Schau dir also das Thema homogene Koordinaten mal
näher an und mach dir klar, welche generelle Form die
betrachteten Vektoren und die Abbildungsmatrix haben
müssten !
LG , Al-Chw.
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Nachtrag:
Du hast gemerkt, dass mich das Thema unfähiger
Mathe-Dozenten ziemlich auf die Palme bringt.
Für dich habe ich aber jetzt noch eine Seite gefunden,
wo du die notwendigen Grundlagen für homogene
Koordinaten nachlesen kannst:
![[]](/images/popup.gif) "Homogene Koordinaten"
Wichtig zu wissen ist zunächst einfach mal, dass
ein Vektor [mm] $\pmat{x\\y}\in\IR^2$ [/mm] durch eine dritte Komponente
mit dem Wert 1 ergänzt wird zu [mm] $\pmat{x\\y\\1}$ [/mm] . Dabei
ist zu beachten, dass dieser Vektor dann äquivalent
ist zu allen seinen Vielfachen (außer dem Nullvektor).
Eine [mm] 2\times2 [/mm] - Matrix [mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}$ [/mm] wird ebenfalls ergänzt, nämlich
zu: [mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\0&0&1}$
[/mm]
In diese Matrix kann man dann zusätzlich einen
Verschiebungsvektor [mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{v_1\\v_2}$ [/mm] einbauen.
Die Matrix sieht dann so aus:
[mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&v_1\\a_{21}&a_{22}&v_2\\0&0&1}$
[/mm]
und die Multiplikation dieser [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix mit dem
3-Vektor [mm] $\pmat{x\\y\\1}$ [/mm] leistet dann dasselbe wie die
Multiplikation der ursprünglichen Matrix [mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}$
[/mm]
mit dem 2-Vektor [mm] $\pmat{x\\y}$ [/mm] und anschließender
Addition des Verschiebungsvektors [mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{v_1\\v_2}$ [/mm] .
Rechne dies einfach einmal formal nach, teste es an
Beispielen und geh dann zu der Aufgabe zurück, in
welcher die [mm] 2\times2 [/mm] - Matrix eine einfache Spiegelung
an der y-Achse darstellen soll.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 03.05.2013 | | Autor: | lexxy |
Vielen Dank für die Erläuterung!
Das Konzept der homogenen Koordinaten meine ich nun in Grundzügen verstanden zu haben. Die Aufgabe kann ich immernoch nicht lösen.
Aus dem was ich nun über homogene Koordinaten weiß, schließe ich folgendes:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] * (3x3-Matrix) = [mm] \vektor{120 \\ 45 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{40 \\ 10 \\ 1} [/mm] * (3x3-Matrix) = [mm] \vektor{80\\ 55 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{20 \\ 30 \\ 1} [/mm] * (3x3-Matrix) = [mm] \vektor{100 \\ 75 \\ 1}
[/mm]
Wie ich nun auf die 3x3-Matrix komme (oder ein LGS daraus mache) weiß ich nicht.
------
Kurzer Nachtrag, mir ist grad ein Licht aufgegangen :D
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] * [mm] \pmat{ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3} [/mm] = [mm] \vektor{120 \\ 45 \\ 1}
[/mm]
Daraus schließe, dass die 120 im transformierten Vektor sich wie folgt ergibt:
[mm] \\120 [/mm] = [mm] 0*x_1 [/mm] + [mm] 0*x_2 [/mm] + [mm] 1*x_3
[/mm]
[mm] \\x_3 [/mm] = 120
Bin ich auf der richtigen Spur? Wie funktioniert das, wenn zwei der drei Komponenten nicht 0 sind?
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> Vielen Dank für die Erläuterung!
> Das Konzept der homogenen Koordinaten meine ich nun in
> Grundzügen verstanden zu haben. Die Aufgabe kann ich
> immernoch nicht lösen.
>
> Aus dem was ich nun über homogene Koordinaten weiß,
> schließe ich folgendes:
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] * (3x3-Matrix) = [mm]\vektor{120 \\ 45 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{40 \\ 10 \\ 1}[/mm] * (3x3-Matrix) = [mm]\vektor{80\\ 55 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{20 \\ 30 \\ 1}[/mm] * (3x3-Matrix) = [mm]\vektor{100 \\ 75 \\ 1}[/mm]
>
> Wie ich nun auf die 3x3-Matrix komme (oder ein LGS daraus
> mache) weiß ich nicht.
>
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> Kurzer Nachtrag, mir ist grad ein Licht aufgegangen :D
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] * [mm]\pmat{ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3}[/mm]
> = [mm]\vektor{120 \\ 45 \\ 1}[/mm]
>
> Daraus schließe, dass die 120 im transformierten Vektor
> sich wie folgt ergibt:
> [mm]\\120[/mm] = [mm]0*x_1[/mm] + [mm]0*x_2[/mm] + [mm]1*x_3[/mm]
> [mm]\\x_3[/mm] = 120
>
> Bin ich auf der richtigen Spur? Wie funktioniert das, wenn
> zwei der drei Komponenten nicht 0 sind?
Guten Abend lexxy,
du notierst die Multiplikation verkehrt rum bzw. nicht
in der üblichen Weise. Man multipliziert hier Matrix mal
Spaltenvektor und nicht Spaltenvektor mal Matrix.
Im Übrigen könntest du die gesuchte Matrix z.B. so
schreiben:
$\ A\ =\ [mm] \pmat{a&b&u\\c&d&v\\0&0&1}$
[/mm]
(ohne die lästigen Indexpaare, die du später wieder
einführen kannst, falls du sie wirklich liebst ...)
So hast du 6 Unbekannte a,b,c,d,u,v. Aus den 3 Punkte-
paaren ergeben sich auch genau 6 Gleichungen, aus
welchen man im vorliegenden Fall die unbekannten
Größen eindeutig bestimmen kann.
Aber hast du diese aus der anschaulichen Betrachtung
nicht ohnehin schon erschließen können ?
LG , Al-Chw.
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