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Ich habe hier eine Aufgabe mit gegebener Basis A = (a1, a2, a3). und den vektoren.
z.Z. ist, dass A eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist. Dann soll man die Transformationsmatrix S des Basiswechsels von A nach K (kanonische Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bestimmen, sowie eine Transformationsmatrix T des Basiswechsels von K nach A.
Ist das im Prinzip nichts anderes wie die Inverse Matrix zu bestimmen? Also S = A^(-1) und T = A?
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> Ich habe hier eine Aufgabe mit gegebener Basis A = (a1, a2,
> a3). und den vektoren.
> z.Z. ist, dass A eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist. Dann soll man
> die Transformationsmatrix S des Basiswechsels von A nach K
> (kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] bestimmen, sowie eine
> Transformationsmatrix T des Basiswechsels von K nach A.
>
> Ist das im Prinzip nichts anderes wie die Inverse Matrix zu
> bestimmen? Also S = A^(-1) und T = A?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Matrix T, welche Dir den Wechsel von Koordinaten bzgl. A in Standardkoordinaten erledigt, ist die matrix, die die Vektoren [mm] a_i [/mm] in den Spalten hat. Das meinst Du wohl auch mit "A".
Und die matrix, die umwandelt von Standardkoordinaten in solche bzgl A ist dann, wie Du auch selber feststellst, derne inverse.
Alles richtig also.
Gruß v. Angela
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OK. Danke...
Was ich noch nicht richtig verstehe: Wenn ich jetzt diese Matrix habe, also T und K, was passiert dann eigentlich bei einer Matrixmultiplikation?
Also angenommen: K = A [mm] \dot [/mm] T. Dann bekommen ich ja die gewünschte Matrix bzgl. der kanonischen Basis. Aber was hat diese Matrix dann mit der urspräunglichen Matrix zu tun?
Gibt es vielleicht irgendwo eine gute Seite zur Transformationsformel, oder kann mir das jemand genau erklären was da genau passiert?
Ebenso beim Diagonalisieren: Ich rechne meine Diagonalmatrix aus mit
D = S [mm] \dot [/mm] A [mm] \dot [/mm] S^-1. Was hat die Dagonalmatrix noch mit der Matrix A zu tun?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
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Hallo,
zu darstellenden Matrizen und Basistransformationen:
Wir stellen uns vor, wir haben eine lineare Abbildung
f: [mm] \IR^m\to \IR^n,
[/mm]
[mm] K_m [/mm] und [mm] K_n [/mm] seien die kanonischen Basen der Räume,
und [mm] B_m [/mm] sowie [mm] C_n [/mm] seien irgendwelche anderen Basen.
Weiter stellen wir uns vor, Du hattst bereits die darstellende Matrix von f bzgl der Basen [mm] K_m [/mm] und [mm] K_n, [/mm] ich schreibe dafür [mm] _{K_n}M(f)_{K_m}.
[/mm]
Was tut diese Matrix: man füttert sie mit Vektoren in Standardkoordinaten des [mm] \IR^m, [/mm] und sie liefert deren Bild unter der Abbildung f in Standardkoordinaten des [mm] \IR^n.
[/mm]
Nun könnte man sich wünschen, die darstellende Matrix von f bzgl der Basen [mm] B_m [/mm] und [mm] C_n [/mm] zu bekommen.
[mm] _{K_n}M(f)_{K_m} [/mm] frißt nur Vektoren bzgl. der Standardbasis füttern. Möchte man solche bzgl [mm] B_m [/mm] verfüttern, so muß man diese zunächst in Koordinaten bzgl [mm] K_m [/mm] umwandeln.
Dies geschieht mit der Transformationsmatrix [mm] _{K_M}T_{B_m}, [/mm] welche in den Spalten die Basisvektoren von [mm] B_m [/mm] in Standardkoordinaten enthält.
Die Matrix, die man aus [mm] _{K_n}M(f)_{K_m}*_{K_m}T_{B_m} [/mm] bekommt, ist die Matrix, die man mit Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_m [/mm] füttert, und die deren Bild unter f bzgl [mm] K_n [/mm] liefert, also
[mm] _{K_n}M(f)_{B_m}=_{K_n}M(f)_{K_m}*_{K_m}T_{B_m}.
[/mm]
Das ursprüngliche Ansinnen war aber, die Bilder in Koordinaten bzgl [mm] C_n [/mm] zu erhalten. Man muß also eine Matrix nachschalten, die die [mm] K_n-Vektoren [/mm] in solche bzgl [mm] C_n [/mm] umwandet.
Die tut [mm] _{C_n}T_{K_n}=(_{K_n}T_{C_n})^{-1}, [/mm] wobei [mm] _{K_n}T_{C_n} [/mm] die Matrix ist, welche in den Spalten die Basisvektoren von [mm] C_n [/mm] in Standardkoordinaten enthält.
Mit [mm] _{C_n}T_{K_n}*_{K_n}M(f)_{K_m}*_{K_m}T_{B_m} [/mm] hast Du nun die Matrix [mm] _{C_n}M(f)_{B_m}, [/mm] welche Du mit Koordinaten bzgl. B-m fütterst, und welche Dir dann deren Bild unter f in Koordinaten bzgl [mm] C_n [/mm] liefert.
Genau dieser Prozeß findet bei der Diagonalisierung statt, Du hast hier m=n, also [mm] K:=K_n=K_m.
[/mm]
Zu einer vorgegebenen Matrix [mm] _KM(f)_K [/mm] bestimmt man hier die Eigenvektoren. Sofern es eine Basis B aus Eigenvektoren gibt, stellt man nun wie oben beschrieben [mm] _BM(f)_B=_BT_K*_KM(f)_K*_KT_B [/mm] auf, und hat hiermit eine Diagonalmatrix erreicht.
Gruß v. Angela
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