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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ich versuche im Moment, mir selbst beizubringen, Mehrfachintegrale mit Hilfe der Transformationsformel zu lösen, weil ich es hasse mit Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten zu arbeiten und habe mir hierzu ein Buch ausgeliehen. Da verstehe ich alles bis zu einem bestimmten Punkt. Kann mir jemand weiterhelfen?
Es geht darum folgendes Integral mit Hilfe der Transformationsformel zu lösen:
[mm] \integral_{J}{\wurzel{x_{1}}x_{2} d\vec{x}}
[/mm]
mit J={ [mm] \vec{x}\in\IR^{2}|x_{1};x_{2}>0;\wurzel{x_{1}}
Um eine geeignete Transformation zu finden, betrachten wir die Bedingungen in der Definition von J genauer. Sie lassen sich umschreiben zu
[mm] 1<\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}}}<2 [/mm] und [mm] 1
Daher liegt es nahe, als neue Koordinaten [mm] u_{1}=x_{1}x_{2} [/mm] und [mm] u_{2}=\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}}}
[/mm]
Und nun kommt der Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann.... Was wurde im Folgenden gemacht?:
Umgekehrt hat man dann
[mm] \vec{x}=\psi(\vec{u})=\vektor{u_{1}^{\bruch{2}{3}}u_{2}^{-\bruch{2}{3} \\ u_{1}^{\bruch{1}{3}}u_{2}^{\bruch{2}{3}}}} [/mm] mit [mm] 1u_{2}
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
mit Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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Hallo [mm] b^2,
[/mm]
> ...s.u....
> Ich versuche im Moment, mir selbst beizubringen,
> Mehrfachintegrale mit Hilfe der Transformationsformel zu
> lösen, weil ich es hasse mit Polarkoordinaten,
> Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten zu arbeiten und
> habe mir hierzu ein Buch ausgeliehen. Da verstehe ich alles
> bis zu einem bestimmten Punkt. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
> Es geht darum folgendes Integral mit Hilfe der
> Transformationsformel zu lösen:
> [mm]\integral_{J}{\wurzel{x_{1}}x_{2} d\vec{x}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> mit J={
> [mm]\vec{x}\in\IR^{2}|x_{1};x_{2}>0;\wurzel{x_{1}}Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Um eine geeignete Transformation zu finden, betrachten wir
> die Bedingungen in der Definition von J genauer. Sie lassen
> sich umschreiben zu
> [mm]1<\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}}}<2[/mm] und [mm]1
> Daher liegt es nahe, als neue Koordinaten [mm]u_{1}=x_{1}x_{2}[/mm]
> und [mm]u_{2}=\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}}}[/mm]
> Und nun kommt der Schritt, den ich nicht nachvollziehen
> kann.... Was wurde im Folgenden gemacht?:
> Umgekehrt hat man dann
>
> [mm]\vec{x}=\psi(\vec{u})=\vektor{u_{1}^{\bruch{2}{3}}u_{2}^{-\bruch{2}{3} \\ u_{1}^{\bruch{1}{3}}u_{2}^{\bruch{2}{3}}}}[/mm]
> mit [mm]1u_{2}[/mm]
Du musst doch in dem Ausgangsintegral die Werte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ersetzen. Deine neuen Variablen sollen [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sein. Ein [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat da drin nix zu suchen. Daher musst du zunächst die Werte [mm] x_i [/mm] durch die [mm] u_i [/mm] ausdrücken.
Das geht zum Beispiel für [mm] x_1 [/mm] so:
Aus [mm] u_1=x_1x_2 [/mm] folgt schon einmal [mm] x_1=\frac{u_1}{x_2}, [/mm] vorausgesetzt [mm] x_2\not=0. [/mm] Nun ersetzt man [mm] x_2 [/mm] durch mittels dieser Gleichung [mm] u_{2}=\bruch{x_{2}}{\wurzel{x_{1}}}.
[/mm]
Dann noch ein wenig Kosmetik und fertig.
Du musst ja später auch das Differential transformieren. Ein weiterer Grund, warum man die Darstellung [mm] \vec{x} [/mm] benötigt.
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> Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
>
> mit Dank im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Danke danke danke ich habs verstanden :) Könnte ich auch, wenn mein Integrationsbereich z.B. eine Kugel oder ähnliches ist, diese Transformationsformel benutzen? Ich hasse nämlich Polarkoordinaten haha :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Fr 21.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Transformation ist immer gleich, aber Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten sind bei rotationssymetrischen Körpern sooo viel einfacher, dass alle anderen Transformationen zu integralen führen, wo du dann so substituieren musst, so dass es indirekt dass es auf Kugel oder Polarkoordinaten rausläuft.
Versuch mal die Fläche eines K reises oder Ellipse in kartesischen oder anderen als Polarkoordinaten zu bestimmen!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Fr 21.03.2014 | | Autor: | bquadrat |
Achso okay.... dankeschön :)
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