Transformation Vektor < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zwischen Zylinderkoordinaten [mm] (r,\theta, [/mm] z) und kartesischen Koordinaten besteht der Zusammenhang: [mm] x=rcos\theta, y=rsin\theta, [/mm] z=z. An einem Punkt P auf der Zylinderoberfläche r=const. wird ein neues Koordinatensystem gewählt. x' in radialer Richtung, y' in tangentialer Richtung und z' in z Richtung.
a) Ermittle die Matrix A zur Berechnung von T' (3x3 Spannungsmatrix; Gleichung [mm] T'=A^{T}TA)
[/mm]
b) Drücke die Komponenten eines Vektors [mm] t_{x'}, t_{y'}, t_{z'}(Spannungsvektor)auf [/mm] der Zylinderoberfläche an der stelle P mit Hilfe der Elemente der original Matrix (Spannungsmatrix) T aus. |
Hallo, bräuchte Hilfe mit obiger Aufgabe, speziell Aufgabenteil b)
Meine Lösung für a) ist wie folgt:
Matrix zur Transformation von kartesisch zu Zylinderkoordinaten:
[mm] A=\pmat{ cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Für Aufgabenteil b) bin mich mir nicht sicher. Hier mein Ansatz:
erstmal ist die Spannungsmatrix symmetrisch:
[mm] T=\pmat{ T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{12} & T_{22} & T_{23} \\ T_{13} & T_{23} & T_{33}}
[/mm]
Gefragt ist nach dem Vektor im gestrichenen Koordinatensystem in Abhängigkeit von den Elementen in T:
[mm] \vec{t'}=A\vec{t} [/mm]
[mm] \vec{t}=T\vec{n} [/mm] - wobei n der Normalenvektor der Ebene ist.
d.h.:
[mm] \vec{t'}=A(T\vec{n})
[/mm]
mit: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ r*cos\theta \\ r*sin\theta \\ 0 } [/mm] * [mm] \wurzel{(r*cos\theta)^{2}+(r*sin\theta)^{2}}=\pmat{ cos\theta \\ sin\theta \\ 0 }
[/mm]
Ist der Ansatz bis hier her richtig???
Danke!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 So 16.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Gerade noch aufgefallen:
der Vektor n ist ja auch im gestrichenen Koordinatensystem gegeben, oder?!?!
Also müsste es ja heißen:
[mm] \vec{n'} [/mm] = [mm] \pmat{ r*cos\theta \\ r*sin\theta \\ 0 } [/mm] * [mm] \wurzel{(r*cos\theta)^{2}+(r*sin\theta)^{2}}=\pmat{ cos\theta \\ sin\theta \\ 0 }
[/mm]
[mm] \vec{n}=A^{T}\vec{n'}
[/mm]
Alles eingesetzt wäre dann:
[mm] \vec{t'}=A(T(A^{T}\vec{n'}))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 18.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
