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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 19.02.2006 | | Autor: | Maiko |
| Aufgabe | In welcher Kurve geht das folgende Gebilde bei einer Spiegelung am Einheitskreis über, d.h. beim Übergang von z zu [mm] \frac{1}{\overline{z}}?
[/mm]
b) |z - 1/2| = 1/4 |
Meine Schritte zur Lösung:
1. [mm] \frac{1}{\overline{z}}=\frac{x}{x^2+y^2}+i*\frac{y}{x^2+y^2}
[/mm]
2. |z - 1/2| = 1/4
-> z=1/2 + [mm] 1/4*(cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] für 0 [mm] \le \phi \le 2\pi
[/mm]
3. Aufteilung in Realteil und Imaginärteil:
x=1/2 + [mm] 1/4*cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=1/4*sin(\phi)
[/mm]
4. x und y oben eingesetzt (bei 1.) ergibt
[mm] \frac{1}{\overline{z}}=\frac{4*(cos(\phi)+2)}{4*cos(\phi)+5}+i*\frac{4*sin(\phi)}{4*cos(\phi)+5}
[/mm]
5. Jetzt habe ich mir diese Funktion mit dem Taschenrechner zeichnen lassen und habe bemerkt, dass es ein Kreis ist. Da es aber keine "schöne" Kreisgleichung ist, möchte ich diese umformen
Einsetzen von [mm] \phi=\pi/2 [/mm] in Gleichung
Ergebnis: 8/5 + 4/5*i
Daraus schlussfolgere ich die Kreisgleichung:
|z-8/5| = 4/5
Leider ist dieses Ergebis nicht korrekt. Laut Lösung müsste
|z-8/3| = 4/3
rauskommen.
Kann mir jmd. sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?
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Für [mm]t \in [0,2\pi][/mm] beschreibt
[mm]t \mapsto u + \operatorname{i}v \ \ \text{mit} \ \ u = \frac{4 \left( 2 + \cos{t} \right)}{5 + 4 \cos{t}} \, , \ \ v = \frac{4 \sin{t}}{5 + 4 \cos{t}}[/mm]
in der Tat einen Kreis vom Radius [mm]\frac{4}{3}[/mm] mit dem Mittelpunkt [mm]\frac{8}{3}[/mm]. Wenn du nämlich [mm]\left( u - \frac{8}{3} \right)^2 + v^2[/mm] berechnest, erhältst du [mm]\frac{16}{9}[/mm]. Um das zu sehen, muß man nur fleißig rechnen und an einer einzigen Stelle den [mm]\sin^2{t}[/mm] durch [mm]1 - \cos^2{t}[/mm] ersetzen. Ich habe das mit einem CAS nachgeprüft. Mit dem Einsetzen von [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm] weist du jedoch nichts anderes nach, als daß der zugehörige Punkt auf dem Kreis liegt - mehr nicht!
Dein Vorgehen ist allerdings recht umständlich. Du bräuchtest doch in der gegebenen Kreisgleichung nur [mm]z[/mm] durch [mm]\frac{1}{\bar{z}}[/mm] substituieren und "nach [mm]z[/mm] auflösen":
[mm]\left| \frac{1}{\bar{z}} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{| \bar{z} |} \cdot \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right| = \frac{1}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right| = \frac{1}{4} \, | \bar{z} |[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ \ \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right|^2 = \frac{1}{16} \, |z|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \, z \right) = \frac{1}{16} \, z \bar{z}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ \ 1 - \frac{1}{2} \, z - \frac{1}{2} \, \bar{z} + \frac{3}{16} \, z \bar{z} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{16}{3} - \frac{8}{3} \, z - \frac{8}{3} \, \bar{z} + z \bar{z} = 0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ \ \left( z - \frac{8}{3} \right) \left( \bar{z} - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{9} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - \frac{8}{3} \right|^2 = \frac{16}{9} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - \frac{8}{3} \right| = \frac{4}{3}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Vielen Dank für deine Hilfe 
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