Trägheitstensor < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie ist der Trägheitstensor besetzt bei einem Würfel - und Fall 2: - bei einem länglichem Quader? |
Der Trägheitstensor ist ja meines erachtens der:
[mm] \pmat{ Jxx & sym & sym \\ Jxy & Jyy & sym \\ Jzx & Jzy & Jzz }
[/mm]
Wie ist der bei den jeweiligen Körpern besetzt und wie kann ich mir das vorstellen:
Bei einem Würfel ist nur die Hauptsiagonale besetzt, oder, kann das sein?
Bei einem länglichem Quader ist das dann wie?
DANKE für eine schnelle Antwort!
:)
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Hallo!
Du weißt doch ganz sicher, wie man die [mm] J_{ij} [/mm] berechnet. Ansonsten hilft dir ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Das sind nun 6 Integrale, von denen du aber nicht alle lösen mußt, weil einige davon ziemlich identisch sind.
Nimm dir zunächst einen Würfel der Kantenlänge 2a, dann hast du die Grenzen [mm] x,y,z\in[-a;+a] [/mm] , hier hast du nur 2 Integrale zu berechnen. Beim Quader hast du die Seitenlängen 2a, 2b und 2c, wodurch sich die Sache etwas verkompliziert. Aber durch genaues Hinschauen, mußt du hier ebenfalls nur 2 Integrale berechnen, und kannst dann das Ergebnis bei den anderen auch einfach hinschreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 24.07.2010 | | Autor: | DER-Helmut |
okay
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| Aufgabe | Heißt aber - wenn das Koordinatensystem genau in der Mitte auf den Syymetrielinen der beiden Körper liegt - ist nur die Hauptdiagonale besetzt?
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Danke im Vorraus
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Hallo!
Generell sollte der Ursprung bei der Berechnung des Tensors im Schwerpunkt des Körpers liegen, alles andere wird dann über den Satz von Steiner geregelt.
Dann bilden die Hauptträgheitsachen die Eigenvektoren des Tensors. Wenn diese gleichzeitig auf den Koordinatenachsen liegen, dann hast du tatsächlich nur Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind dann die Eigenwerte.
Nun müssen Symmetrieachsen nicht zwangsläufig auch Hauptträgheitsachsen sein, z.B. wenn die Masse nicht homogen verteilt ist. Aber ich meine, bei homogener Verteilung hast du durchaus recht, allerdings müßte ich mal überlegen, auf welche nicht-quaderförmigen Gebilde das in der Form noch zutrifft.
Übrigens: Den Würfel kannst du drehen wie du willst, der Tensor wird immer gleich sein, egal wie schief der Würfel in dem Koordinatensystem sitzt. Sein Verhalten entspricht dem einer Kugel, die auch keine wirklichen Symmetrieachsen besitzt.
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