Träger, Ungleichung, Sup < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei I: [mm] C_c (\IR^n) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ein monotones lineares Funktional. Es sei [mm] f_k \in C_c (\IR^n) [/mm] (Stetige Funktionen mit kompakten träger) k [mm] \in \IN, [/mm] eine Folge von Funktionen, deren Träger alle in einem gemeinsamen Kompaktum K [mm] \subset \IR^n [/mm] enthalten sind. Die Folge [mm] (f_k)_{k \in \IN} [/mm] konvergiere gleichmäßig auf [mm] \IR^n [/mm] gegen die Funktion f [mm] \in C_c (\IR^n)
[/mm]
Es ist zuzeigen: [mm] lim_{k->\infty} I(f_k) [/mm] = I(f)
Beweis:
Das Kompaktum K ist in einen QUader
Q= $ [mm] I_1 \times [/mm] $ .. $ [mm] \times I_n [/mm] $ ( $ [mm] I_s \subset [/mm] $ R kompaktes Intervall)
Zu jedem s=1,..,n wählen wir eine stetige Funktion $ [mm] \phi_s [/mm] $ : $ [mm] \IR-> \IR [/mm] $ mit folgenden Eigenschaften:
i) 0 $ [mm] \le \phi_s [/mm] $ (t) $ [mm] \le [/mm] $ 1 für alle t $ [mm] \in \IR [/mm] $
ii) $ [mm] \phi_s [/mm] $ (t)=1 für alle t $ [mm] \in I_s [/mm] $
iii) $ [mm] \phi_s [/mm] $ hat kompakten Träger
Wir defenieren eine Funktion $ [mm] \Phi: \IR^n [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ durch
$ [mm] \Phi (x_1,.., x_n) [/mm] $ := $ [mm] \phi_1 (x_1) [/mm] $ * ...* $ [mm] \phi_n (x_n) [/mm] $
Es gilt dann $ [mm] \Phi \in C_c (\IR^n) [/mm] $ (Stetige Funkionen mit kompakten Träger, $ [mm] \Phi \ge [/mm] $ 0 und $ [mm] \Phi_{|K} [/mm] $ =1
Wir setzten [mm] ||f_k [/mm] - f||:= [mm] sup_{x \in \IR^n} |f_k [/mm] (x) - f(x)|
Da supp [mm] (f_k [/mm] - f) [mm] \subset [/mm] K gilt:
- [mm] ||f_k [/mm] - f|| * [mm] \Phi \le f_k [/mm] - f [mm] \le ||f_k [/mm] - f|| * [mm] \Phi
[/mm]
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(C) Forster Analysis 3 |
Hallo
Meine Frage: Wieso ist supp [mm] (f_k [/mm] - f) [mm] \subset [/mm] K ?
Und wieso folgt daraus: - [mm] ||f_k [/mm] - f|| * [mm] \Phi \le f_k [/mm] - f [mm] \le ||f_k [/mm] - f|| * [mm] \Phi [/mm] ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei I: [mm]C_c (\IR^n)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ein monotones lineares
> Funktional. Es sei [mm]f_k \in C_c (\IR^n)[/mm] (Stetige Funktionen
> mit kompakten träger) k [mm]\in \IN,[/mm] eine Folge von
> Funktionen, deren Träger alle in einem gemeinsamen
> Kompaktum K [mm]\subset \IR^n[/mm] enthalten sind. Die Folge
> [mm](f_k)_{k \in \IN}[/mm] konvergiere gleichmäßig auf [mm]\IR^n[/mm] gegen
> die Funktion f [mm]\in C_c (\IR^n)[/mm]
> Es ist zuzeigen:
> [mm]lim_{k->\infty} I(f_k)[/mm] = I(f)
>
>
> Beweis:
> Das Kompaktum K ist in einen QUader
> Q= [mm]I_1 \times[/mm] .. [mm]\times I_n[/mm] ( [mm]I_s \subset[/mm] R kompaktes
> Intervall)
> Zu jedem s=1,..,n wählen wir eine stetige Funktion [mm]\phi_s[/mm]
> : [mm]\IR-> \IR[/mm] mit folgenden Eigenschaften:
> i) 0 [mm]\le \phi_s[/mm] (t) [mm]\le[/mm] 1 für alle t [mm]\in \IR[/mm]
> ii) [mm]\phi_s[/mm]
> (t)=1 für alle t [mm]\in I_s[/mm]
> iii) [mm]\phi_s[/mm] hat kompakten
> Träger
>
>
> Wir defenieren eine Funktion [mm]\Phi: \IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] durch
> [mm]\Phi (x_1,.., x_n)[/mm] := [mm]\phi_1 (x_1)[/mm] * ...* [mm]\phi_n (x_n)[/mm]
> Es
> gilt dann [mm]\Phi \in C_c (\IR^n)[/mm] (Stetige Funkionen mit
> kompakten Träger, [mm]\Phi \ge[/mm] 0 und [mm]\Phi_{|K}[/mm] =1
>
> Wir setzten [mm]||f_k[/mm] - f||:= [mm]sup_{x \in \IR^n} |f_k[/mm] (x) -
> f(x)|
> Da supp [mm](f_k[/mm] - f) [mm]\subset[/mm] K gilt:
> - [mm]||f_k[/mm] - f|| * [mm]\Phi \le f_k[/mm] - f [mm]\le ||f_k[/mm] - f|| * [mm]\Phi[/mm]
> ..
>
> (C) Forster Analysis 3
> Hallo
> Meine Frage: Wieso ist supp [mm](f_k - f) \subset K [/mm]?
[mm] $\mathop{\mathrm{supp}} f_k \subset [/mm] K$ für alle k nach Voraussetzung. Also ist [mm] $f_k(x)=0$ [/mm] für [mm]x\not\in K[/mm], und da [mm] $f_k$ [/mm] glm. gegen f konvergiert, ist auch $f(x)=0$ für [mm]x\not\in K[/mm], d.h. [mm] $\mathop{\mathrm{supp}} [/mm] f [mm] \subset [/mm] K$ und daher [mm] $\mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset [/mm] K$ .
> Und wieso folgt daraus: [mm]- \|f_k - f\| * \Phi \le f_k - f\le \|f_k - f\| * \Phi[/mm] ??
Diese Ungleichungen bedeuten doch ausgeschrieben:
[mm] -\sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) -f(x)|*\Phi(x) \le f_k(x)-f(x) \le \sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) -f(x)| *\Phi(x)[/mm] .
Für [mm] $x\not\in [/mm] K$ gilt wegen [mm] $\mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset [/mm] K$: [mm] $f_k(x) [/mm] - f(x) = 0$. Da [mm] $\Phi(x)\ge [/mm] 0$ für alle x ist, steht rechts eine Zahl [mm] $\ge0$ [/mm] und links eine Zahl [mm] $\le [/mm] 0$: Die Ungleichungen sind erfüllt.
Für [mm] $x\in [/mm] K$ ist [mm] $\Phi(x)=1$ [/mm] und dann steht da
[mm] -\sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) -f(x)| \le f_k(x)-f(x) \le \sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) -f(x)| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
Danke für die Antwort!
> $ [mm] \mathop{\mathrm{supp}} f_k \subset [/mm] K $ für alle k nach Voraussetzung. Also ist $ [mm] f_k(x)=0 [/mm] $ für $ [mm] x\not\in [/mm] K $, und da $ [mm] f_k [/mm] $ glm. gegen f konvergiert, ist auch $ f(x)=0 $ für $ [mm] x\not\in [/mm] K $, d.h. $ [mm] \mathop{\mathrm{supp}} [/mm] f [mm] \subset [/mm] K $ und daher $ [mm] \mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset [/mm] K $ .
Würde dass auch gelten wenn [mm] f_k [/mm] nur punktweise gegen f konvergiert? Wenn nein warum nicht?
> Für $ [mm] x\not\in [/mm] K $ gilt wegen $ [mm] \mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset [/mm] K $: $ [mm] f_k(x) [/mm] - f(x) = 0 $.
Ist dann [mm] \sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) [/mm] -f(x)| nicht auch 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort!
>
> > [mm]\mathop{\mathrm{supp}} f_k \subset K[/mm] für alle k nach
> Voraussetzung. Also ist [mm]f_k(x)=0[/mm] für [mm]x\not\in K [/mm], und da
> [mm]f_k[/mm] glm. gegen f konvergiert, ist auch [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\not\in K [/mm],
> d.h. [mm]\mathop{\mathrm{supp}} f \subset K[/mm] und daher
> [mm]\mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset K[/mm] .
> Würde dass auch gelten wenn [mm]f_k[/mm] nur punktweise gegen f
> konvergiert?
Ja.
> > Für [mm]x\not\in K[/mm] gilt wegen [mm]\mathop{\mathrm{supp}} (f_k-f) \subset K [/mm]:
> [mm]f_k(x) - f(x) = 0 [/mm].
> Ist dann [mm]\sup_{x \in \IR^n} |f_k(x) -f(x)|[/mm] nicht auch 0?
Nein, wieso denn? [mm]f_k(x) - f(x) [/mm] ist doch nur außerhalb von K gleich 0, also kannst du höchstens sagen, dass
[mm] \sup_{x \in \IR^n\setminus K} |f_k(x) -f(x)| = 0[/mm]
ist.
Viele Grüße
Rainer
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