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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Es seien P,Q W-Maße auf einer [mm] \sigma [/mm] -Algebra A mit$ [mm] f=\bruch{dP}{dv}, g=\bruch{dQ}{dv}$und [/mm] mit v als ein [mm] $\sigma$-endliches [/mm] Maß auf A, $P,Q<<v$,
Zeigen Sie:
[mm] sup_{B\in A}|P(B)-Q(B)|=\bruch{1}{2}\integral|f-g|dv [/mm] |
Hallo,
hab einen Lösungsvorschlag zur Aufgabe, aber bin mir total unsicher, ob das stimmt.
Wird das Supremum auf C und [mm] C^c [/mm] angenommen?
[mm] C=\{f\ge g\}
[/mm]
Dann könnte man so weiter machen:
[mm] P(\Omega)-Q(\Omega)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(C)-Q(C)=Q(C^c)-P(C^c)
[/mm]
[mm] 2*sup|P(B)-Q(B)|=(P(C)-Q(C))+(Q(C^c)-P(C^c))
[/mm]
[mm] =\integral_{C}(f-g)dv+\integral_{C^c}(g-f)dv
[/mm]
[mm] =\integral_{C}|f-g|dv+\integral_{C^c}|g-f|dv [/mm] aufgrund der Def. von C
[mm] =\integral_{C}|f-g|dv+\integral_{C^c}|f-g|dv
[/mm]
Dann würde sofort die Behauptung folgen.
Was meint ihr dazu?
VG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Di 11.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> Es seien P,Q W-Maße auf einer [mm]\sigma[/mm] -Algebra A mit[mm] f=\bruch{dP}{dv}, g=\bruch{dQ}{dv}[/mm]und
> mit v als ein [mm]\sigma[/mm]-endliches Maß auf A, [mm]P,Q<
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]sup_{B\in A}|P(B)-Q(B)|=\bruch{1}{2}\integral|f-g|dv[/mm]
>
> Hallo,
>
> hab einen Lösungsvorschlag zur Aufgabe, aber bin mir total
> unsicher, ob das stimmt.
>
> Wird das Supremum auf C und [mm]C^c[/mm] angenommen?
> [mm]C=\{f\ge g\}[/mm]
Das musst du zeigen 
> Dann könnte man so weiter machen:
> [mm]P(\Omega)-Q(\Omega)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow P(C)-Q(C)=Q(C^c)-P(C^c)[/mm]
>
Wenn du $B := C$ setzt und das [mm] $\sup$ [/mm] weglaesst, stimmt das hier:
> [mm]2*sup|P(B)-Q(B)|=(P(C)-Q(C))+(Q(C^c)-P(C^c))[/mm]
> [mm]=\integral_{C}(f-g)dv+\integral_{C^c}(g-f)dv[/mm]
> [mm]=\integral_{C}|f-g|dv+\integral_{C^c}|g-f|dv[/mm] aufgrund der
> Def. von C
> [mm]=\integral_{C}|f-g|dv+\integral_{C^c}|f-g|dv[/mm]
Also hast du $2 |P(C) - Q(C)| = [mm] \int [/mm] |f - g| dv$, womit schonmal [mm] $\sup_{B \in A} [/mm] |P(B) - Q(B)| [mm] \ge \frac{1}{2} \int [/mm] |f - g| dv$ folgt. Wenn du jetzt noch allgemein $|P(B) - Q(B)| [mm] \le \frac{1}{2} \int [/mm] |f - g| dv$ abschaetzen koenntest, waerst du fertig.
Dazu: setze [mm] $B_1 [/mm] := B [mm] \cap [/mm] C$ und [mm] $B_2 [/mm] := B [mm] \cap C^c$; [/mm] dann ist $B$ die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen, und es gilt $P(B) - Q(B) = [mm] \int_B [/mm] (f - g) dv = [mm] \int_{B_1} [/mm] |f - g| dv - [mm] \int_{B_2} [/mm] |f - g| dv$.
Insbesondere gilt also $|P(B) - Q(B)| [mm] \le |P(B_1) [/mm] - [mm] Q(B_1)|$. [/mm] Und wegen der Monotonie des Integrals (da Integrand [mm] $\ge [/mm] 0$) folgt schliesslich $|P(B) - Q(B)| [mm] \le |P(B_1) [/mm] - [mm] Q(B_1)| \le [/mm] |P(C) - Q(C)|$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix.
Super, vielen Dank, auf die zweite Abschätzung wäre ich wohl nie so gekommen.
Beste Grüße
Christian
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