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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Do 05.05.2005 | | Autor: | JSM |
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Hey,
also, ihr Profis könnt mir helfen.
Es um Präferenz-/Nutzenfunktionen in der Mikroökonomie und da ganz speziell um die totale Differenzierung:
Gegeben ist zur Ermittlung des Grenzwerts der Substitution
MRS= [mm] \bruch{dx_{2}}{dx_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\partial u}{\partial x_{1}}}{\bruch{\partial u}{\partial x_{2}}}
[/mm]
Gegeben sei die Nutzenfunktion [mm] u=x^2*y^2
[/mm]
Soweit so gut...
Wenn ich die t. D. auf der rechten Seite anwende ergibt sich als Ergebnis
[mm] -\bruch{x_{1}}{x_{2}}
[/mm]
Leider wiederspricht das aber dem Ergebnis der linken Seite, das ich nach Umstellen der Gleichung nach [mm] x_{2}, [/mm] also [mm] x_{2}=\bruch{-u^{0.5}}{x_{1}} [/mm] ergibt.
Wie sollte es auch? Meiner Ansicht nach handelt es sich einmal um eine partielle und einmal um eine totale D. derselben Gleichung.
Nun ist es aber so, dass die Gleichung allgemeine Gültigkeit besitzt.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
JSM
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Hallo,
die einzige mir sinnvoll erscheinende Vermutung ist, dass die Gleichungen aus dem Betreff gelten sollen. Dann ist doch:
$ [mm] \bruch{\bruch{\partial u}{\partial x_{1}}}{\bruch{\partial u}{\partial x_{2}}} =\bruch{2 x_1 x_2^2}{2 x_1^2 x_2} [/mm] = [mm] \bruch{x_2}{x_1}$. [/mm] Hier haben wir also schon mal verschiedene Ergebnisse.
Nutzenfunktion nach [mm] $x_2\qquad(=y)$ [/mm] auflösen: [mm] $x_2=\bruch{\wurzel{u}}{x_1} [/mm] $, also [mm] $\bruch{d}{d x_1}x_2 [/mm] = [mm] \bruch{\left(\bruch{d}{d x_1}u\right) * \bruch{1}{2\wurzel{u}} *x_1 - \wurzel{u}}{x_1^2}=\bruch{\bruch{2 x_1 x_2^2}{2 x_1 x_2}*x_1-x_1 x_2}{x_1^2}=0$.
[/mm]
Und das ist nicht weiter verwunderlich, denn wir haben , wie Du schon richtig gesagt hast, totales und partielles Integral durcheinander gebracht.
Aber wieso wir beim totalen D. verschiedenes herausbekommen, weiss ich auch nicht; besonders das Vorzeichen macht mich stutzig (bei den vielen Brüchen kann schon mal "der Kehrwert passieren"  ).
Vieleicht liegt es an [mm] $x_2=\pm\bruch{\wurzel{u}}{x_1}$...
[/mm]
Viele Grüße,
Peter
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