Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
[/mm]
$f(x,y) := $ [mm] \begin{cases}
\frac{xy^3}{x^2+y^6} \quad \text{falls} \quad (x,y) \ne 0 \\
0 \quad \text{falls}\quad (x,y) = 0
\end{cases} [/mm]
a) Geben Sie die partiellen Ableitungen von $f$ auf [mm] $x_0 \in \mathbb{R}^2 \setminus [/mm] 0$ an.
b) Zeigen Sie, dass $f$ (total) differenzierbar auf [mm] $\mathbb{R}^2 \setminus [/mm] 0$ ist |
wir haben das thema gerade erst begonnen, und entsprechend bin ich noch etwas unsicher.
zur a)
für die partiellen ableitungen habe ich
[mm] $\frac{df}{dx} [/mm] = [mm] \frac{y^3(y^6-x^2)}{(x^2+y^6)^2}$
[/mm]
[mm] $\frac{df}{dy} [/mm] = [mm] \frac{3xy^2(x^2-y^6)}{(x^2+y^6)^2}$
[/mm]
zur b)
hierzu habe ich im Skript einen Satz gefunden:
Die partiellen Ableitungen existieren; falls diese bei $x [mm] \in [/mm] U$ stetig sind, ist $f$ bei $x$ total differenzierbar.
d.h. doch, ich muss nur zeigen, dass meine beiden partiellen ableitungen jeweils stetig sind. naja, da es sich jeweils um einen quotienten stetiger funktionen handelt, sind sie ja stetig. Der 0-punkt wird in der fragestellung ja explizit ausgeschlossen. bin ich dann nicht schon fertig? köme mir etwas sehr wenig und einfach vor...
ich habe die frage in keinem anderen forum gestellt.
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> [mm]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]f(x,y) :=[/mm] [mm]\begin{cases}
\frac{xy^3}{x^2+y^6} \quad \text{falls} \quad (x,y) \ne 0 \\
0 \quad \text{falls}\quad (x,y) = 0
\end{cases}[/mm]
>
> a) Geben Sie die partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm] auf [mm]x_0 \in \mathbb{R}^2 \setminus 0[/mm]
> an.
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] (total) differenzierbar auf
> [mm]\mathbb{R}^2 \setminus 0[/mm] ist
> wir haben das thema gerade erst begonnen, und entsprechend
> bin ich noch etwas unsicher.
>
> zur a)
> für die partiellen ableitungen habe ich
> [mm]\frac{df}{dx} = \frac{y^3(y^6-x^2)}{(x^2+y^6)^2}[/mm]
>
> [mm]\frac{df}{dy} = \frac{3xy^2(x^2-y^6)}{(x^2+y^6)^2}[/mm]
Hallo,
die sind richtig - und die Argumentation in b) auch.
Gruß v. Angela
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | c) für einen Vektor $v \in \mathbb{R}^2 \setminus {0}$ und einem Punkte $a\in \mathbb{R}^2$ heißt $f$ in $x_0$ in Richtung $v$ differenzierbar, falls der Grenzwert
$lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$
existiert. Weisen Sie nach, dass die Funktion $f$ im Punkt $a=0$ in alle Richtungen differenzierbar ist.
d) Zeigen Sie dass f im punkt a=0 nicht stetig ist
e) Ist f im Punkt a=0 (total) differenzierbar? |
supi, danke schonmal.
weiter gehts... beginn der aufgabe siehe erste frage in diesem thread
zu c)
für den Punkt $a=(0,0)$ bleibt für den Grenzwert doch nur noch
$\lim_{t \to 0} \frac{f(tv_1, tv_2)}{t} $ - oder stehe ich hier völlig auf dem schlauch?
Das gäbe dann $lim_{t \to 0} \frac{tv_1v_2^3}{v_1^2+t^4v_2^6} = \frac{0}{v_1^2} = 0$
grenzwert existiert, q.e.d.
habe ich das richtig verstanden?
zu d) ich krieg raus, dass die funktion stetig ist:
$lim_{x \to 0} f(x,0) = 0$
$lim_{y \to 0} f(0,y) = 0$
$lim_{x \to 0} f(x,x} = lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^2+x^6} = lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1+x^4} = \frac{0}{1} = 0$
sieht jemand meinen fehler??
zu e) naja, laut aufgabenstellung d) ist die funktion unstetig in a und damit auch nicht differenzierbar...?
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Hiho,
zu c): Bis auf die Tatsache, dass im Zähler [mm] t^{\red{2}}v_1v_2^3 [/mm] stehen bleibt, stimmts
zu d) Du machst den typischen "Anfängerfehler". Du prüft 3 Folgen gegen 0. Das Kriterium sagt aber, dass der Funktionswert bei ALLEN Folgen gegen 0 gehen soll. Diese 3 Folgen prüft man meistens um zu schauen, ob man Unstetigkeit "quick and dirty" zeigen kann 
Es kann ja theoretisch auch auf allen Folgen bis auf einer gegen 0 streben... aber sobald es bei einer schief geht, ist sie unstetig.
Tip: x = [mm] y^3
[/mm]
e) Ihr habt bestimmt gehabt: total differenzierbar [mm] \rightarrow [/mm] stetig. Tip: Kontraposition.
MfG,
Gono.
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> Hiho,
>
> zu c): Bis auf die Tatsache, dass im Zähler
> [mm]t^{\red{2}}v_1v_2^3[/mm] stehen bleibt, stimmts
>
ich glaube du hast hier den gleichen flüchtigkeitsfehler gemacht wie ich beim ersten rechnen - aufgrund der limes-bildung teile ich ja noch einmal durch $t$, somit müsste mein zähler [mm] $tv_1v_2^3$ [/mm] richtig sein - oder?
> zu d) Du machst den typischen "Anfängerfehler". Du prüft 3
> Folgen gegen 0. Das Kriterium sagt aber, dass der
> Funktionswert bei ALLEN Folgen gegen 0 gehen soll. Diese 3
> Folgen prüft man meistens um zu schauen, ob man
> Unstetigkeit "quick and dirty" zeigen kann
> Es kann ja theoretisch auch auf allen Folgen bis auf einer
> gegen 0 streben... aber sobald es bei einer schief geht,
> ist sie unstetig.
> Tip: x = [mm]y^3[/mm]
ah ja, super, vielen dank  bei dem beispiel im buch war beim 3. fall bereits unstetigkeit gezeigt - aber klar, 3 ist nunmal nicht alle jetzt ist das ding jedenfalls auch bei mir unstetig
>
> e) Ihr habt bestimmt gehabt: total differenzierbar
> [mm]\rightarrow[/mm] stetig. Tip: Kontraposition.
>
ja genau, den satz hatten wir. hm, mit diesen logik-verneinungssachen hab ichs nicht so. meiner meinung nach ist die umkehrung des satzes doch einfach:
nicht stetig [mm] \rightarrow [/mm] nicht total differenzierbar.
denn stetigkeit ist doch eine (notwenige?) voraussetzung für differenzierbarkeit. und deshalb folgt aus unstetigkeit auch nicht-differenzierbarkeit - richtig?
damit wäre die frage doch beantwortet - kommt mir nur irgendwie ein bisschen wenig vor...
> MfG,
> Gono.
>
gruß GB
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Hiho zum zweiten,
> ich glaube du hast hier den gleichen flüchtigkeitsfehler
> gemacht wie ich beim ersten rechnen - aufgrund der
> limes-bildung teile ich ja noch einmal durch [mm]t[/mm], somit
> müsste mein zähler [mm]tv_1v_2^3[/mm] richtig sein - oder?
Wollte nur sehen, ob du mitdenkst *hust*
> meiner meinung
> nach ist die umkehrung des satzes doch einfach:
> nicht stetig [mm]\rightarrow[/mm] nicht total differenzierbar.
> denn stetigkeit ist doch eine (notwenige?) voraussetzung
> für differenzierbarkeit.
Korrekt (sogar das notwendig ).
> und deshalb folgt aus unstetigkeit
> auch nicht-differenzierbarkeit - richtig?
Jein. Die Frage ist, wie differenziert du das betrachten sollst, denn das total steht ja in Klammern.
Sie ist keinesfalls total differenzierbar, da sie nicht stetig ist.
Es sind auch nicht alle partiellen Ableitungen stetig, denn sonst wär sie total differenzierbar.
Aber es kann bspw. sein, dass sie in allen Komponenten ausser einer partiell stetig differenzierbar ist, oder in allen nicht stetig partiell differenzierbar.
Da gäbe es viele Möglichkeiten...... da es hier nur 2 Komponenten sind, ist es allerdings auch nicht sooooooooooviel Arbeit, alle partiellen Ableitungen zu prüfen, die Frage ist halt nur, ob du das sollst oder die totale Differenzierbarkeit ausreicht.
MfG,
Gono.
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