Totale Ableitung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 13.12.2011 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Willkürlich gegebene Funktionen:
[mm] (i)\quad[/mm] [mm]z\left(x\left(t\right)\right) = x^3 + x[/mm]
[mm] (ii)\quad[/mm] [mm]z\left(x\left(t\right),t\right) = x^3 + x\,t^4[/mm]
Aufgabe: Bilde das totale Differential für
[mm] a)\quad[/mm] [mm] \bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}[/mm]
und
[mm] b)\quad[/mm] [mm] \bruch{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2}[/mm] |
Interessenhalber würde ich gerne von euch wissen, ob die von mir gerade willkürlich erstellten Gleichungen mit meinem Lösungsansatz richtig ist (mir geht es nur ums Verständnis).
Also ich gehe wie folgt an die Aufgabe:
So wie ich die Aufgabe (willkürlich) gewählt habe, habe ich zwei Ortsvektoren gegeben (die Koordinate [mm]y[/mm] soll 0 sein!), nämlich
[mm]{\vec r}_i = \begin{pmatrix} x \\ x^3 + x \end{pmatrix}[/mm] und [mm]{\vec r}_{ii} = \begin{pmatrix} x \\ x^3 + x\,t^4 \end{pmatrix}[/mm]
Die totale Ableitung bilde ich nach der Vorschrift:
[mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial z}\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}+ \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \bruch{\mathrm{d}\dot x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial \dot z}\bruch{\mathrm{d}\dot z}{\mathrm{d}t} +\bruch{\partial L}{\partial t}[/mm]
Für (i) hängt die Funktion [mm] \emph{nicht} [/mm] explizit von der Zeit ab, nun habe ich das so verstanden, dass die partielle Ableitung nach der Zeit hier entfällt. Dies muss dann nur in (ii) berücksichtigt werden, oder?
Also wäre a) für (i) vektoriell
[mm] \vec {\dot r}_i = \bruch{\mathrm{d}L_i}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix}\dot x \\ 3x^2\,\dot x + 1\cdot \dot x \end{pmatrix}[/mm] und b) für (i) vektoriell [mm] \vec {\ddot r}_i = \bruch{\mathrm{d^2}L_i}{\mathrm{d}t^2} = \begin{pmatrix}\ddot x \\ 6x\,\dot x\,\dot x + 3x^2\,\ddot x + \ddot x \end{pmatrix}[/mm]
Also wäre a) für (ii) vektoriell
[mm] \vec {\dot r}_{ii} = \bruch{\mathrm{d}L_{ii}}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix}\dot x \\ 3x^2\,\dot x + 1\cdot \dot x + 4x\,t^3\end{pmatrix}[/mm] und b) für (ii) vektoriell [mm] \vec {\ddot r}_{ii} = \bruch{\mathrm{d^2}L_{ii}}{\mathrm{d}t^2} = \begin{pmatrix}\ddot x \\ 6x\,\dot x\,\dot x + 3x^2\,\ddot x + \ddot x + 12x\,t^2 \end{pmatrix}[/mm]
Meine entgültige Frage: Wenn nun [mm]x(t)[/mm], welche ja [mm] \emph{implizit} [/mm] die Zeitabhängigkeit beinhaltet zusammen mit der [mm] \emph{expliziten} [/mm] Zeitfunktion kombiniert steht, leite ich dann wirklich NUR die explizite Zeitfunktion ab oder muss ich auch noch [mm]x[/mm] ableiten -quasi die Produktregel anwenden?
Für eure Hilfe bin ich dankbar!
Grüße, murmel
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Hallo murmel,
> Willkürlich gegebene Funktionen:
>
> [mm](i)\quad[/mm] [mm]z\left(x\left(t\right)\right) = x^3 + x[/mm]
> [mm](ii)\quad[/mm] [mm]z\left(x\left(t\right),t\right) = x^3 + x\,t^4[/mm]
>
> Aufgabe: Bilde das totale Differential für
>
> [mm]a)\quad[/mm] [mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}[/mm]
>
> und
>
> [mm]b)\quad[/mm] [mm]\bruch{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2}[/mm]
>
> Interessenhalber würde ich gerne von euch wissen, ob die
> von mir gerade willkürlich erstellten Gleichungen mit
> meinem Lösungsansatz richtig ist (mir geht es nur ums
> Verständnis).
>
> Also ich gehe wie folgt an die Aufgabe:
>
> So wie ich die Aufgabe (willkürlich) gewählt habe, habe
> ich zwei Ortsvektoren gegeben (die Koordinate [mm]y[/mm] soll 0
> sein!), nämlich
>
>
> [mm]{\vec r}_i = \begin{pmatrix} x \\ x^3 + x \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]{\vec r}_{ii} = \begin{pmatrix} x \\ x^3 + x\,t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Die totale Ableitung bilde ich nach der Vorschrift:
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial z}\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}+ \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \bruch{\mathrm{d}\dot x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial \dot z}\bruch{\mathrm{d}\dot z}{\mathrm{d}t} +\bruch{\partial L}{\partial t}[/mm]
>
Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm]
dann stimmt die obige Formel nicht.
> Für (i) hängt die Funktion [mm]\emph{nicht}[/mm] explizit von der
> Zeit ab, nun habe ich das so verstanden, dass die partielle
> Ableitung nach der Zeit hier entfällt. Dies muss dann nur
> in (ii) berücksichtigt werden, oder?
>
>
> Also wäre a) für (i) vektoriell
>
> [mm]\vec {\dot r}_i = \bruch{\mathrm{d}L_i}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix}\dot x \\ 3x^2\,\dot x + 1\cdot \dot x \end{pmatrix}[/mm]
> und b) für (i) vektoriell [mm]\vec {\ddot r}_i = \bruch{\mathrm{d^2}L_i}{\mathrm{d}t^2} = \begin{pmatrix}\ddot x \\ 6x\,\dot x\,\dot x + 3x^2\,\ddot x + \ddot x \end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also wäre a) für (ii) vektoriell
>
> [mm]\vec {\dot r}_{ii} = \bruch{\mathrm{d}L_{ii}}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix}\dot x \\ 3x^2\,\dot x + 1\cdot \dot x + 4x\,t^3\end{pmatrix}[/mm]
> und b) für (ii) vektoriell [mm]\vec {\ddot r}_{ii} = \bruch{\mathrm{d^2}L_{ii}}{\mathrm{d}t^2} = \begin{pmatrix}\ddot x \\ 6x\,\dot x\,\dot x + 3x^2\,\ddot x + \ddot x + 12x\,t^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Meine entgültige Frage: Wenn nun [mm]x(t)[/mm], welche ja
> [mm]\emph{implizit}[/mm] die Zeitabhängigkeit beinhaltet zusammen
> mit der [mm]\emph{expliziten}[/mm] Zeitfunktion kombiniert steht,
> leite ich dann wirklich NUR die explizite Zeitfunktion ab
> oder muss ich auch noch [mm]x[/mm] ableiten -quasi die Produktregel
> anwenden?
>
Es ist sowohl x als auch die explizite Zeitfunktion abzuleiten.
>
>
> Für eure Hilfe bin ich dankbar!
> Grüße, murmel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 13.12.2011 | | Autor: | murmel |
@mathepower,
danke für die schnelle Antwort,
> Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> dann stimmt die obige Formel nicht.
>
Also vermutlich meinst du den Teil indem die (partiellen) Ableitungen der Geschwindigkeiten nach der Zeit
vorkommen,
also müsste für $\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t$ in (ii) stehen:
$\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial t}$
Und für $ \bruch{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2} $ in (ii) müsste stehen:
$\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+ \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \bruch{\mathrm{d}\dot x}{\mathrm{d}t} +\bruch{\partial L}{\partial t}$
Dürfte hier nur die ersten zwei Term stehen, da z von x abhängig ist?
Oder meinst du etwas anderes?
Grüße, murmel
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Hallo murmel,
> @mathepower,
>
> danke für die schnelle Antwort,
>
>
> > Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm]
>
> >
> > dann stimmt die obige Formel nicht.
> >
>
> Also vermutlich meinst du den Teil indem die (partiellen)
> Ableitungen der Geschwindigkeiten nach der Zeit
> vorkommen,
>
> also müsste für [mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t[/mm] in (ii)
> stehen:
>
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\bruch{\partial L}{\partial t}[/mm]
>
>
> Und für [mm]\bruch{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2}[/mm] in (ii)
> müsste stehen:
>
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \bruch{\partial L}{\partial x} \bruch{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+ \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \bruch{\mathrm{d}\dot x}{\mathrm{d}t} +\bruch{\partial L}{\partial t}[/mm]
>
> Dürfte hier nur die ersten zwei Term stehen, da z von x
> abhängig ist?
>
> Oder meinst du etwas anderes?
>
Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm], dann ist
[mm]\bruch{dL}{dt}=\[\left( \frac{\partial \,L}{\partial\,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{d\,x}{d\,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{dx}{d\,t}\right) \][/mm]
Die zweite Ableitung erspar ich mir an dieser Stelle.
>
> Grüße, murmel
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 13.12.2011 | | Autor: | murmel |
Hallo mathepower,
einmal nerv' ich noch mal
>
> Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm],
> dann ist
>
> [mm]\bruch{dL}{dt}=\[\left( \frac{\partial \,L}{\partial\,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{d\,x}{d\,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{dx}{d\,t}\right) \][/mm]
>
Das sieht nach Kettenregel aus, stimmt das?
Gruß
murmel
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Hallo murmel,
> Hallo mathepower,
> einmal nerv' ich noch mal
>
> >
> > Wenn [mm]L=L\left(x\left(t\right), \ z\left(x\left(t\right),t\right) \ \right)[/mm],
> > dann ist
> >
> > [mm]\bruch{dL}{dt}=\[\left( \frac{\partial \,L}{\partial\,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{d\,x}{d\,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,z}\right) \,\left( \frac{\partial \,z}{\partial \,t}\right) +\left( \frac{\partial \,L}{\partial \,x}\right) \,\left( \frac{dx}{d\,t}\right) \][/mm]
>
> >
>
> Das sieht nach Kettenregel aus, stimmt das?
>
Ja, genauer gesagt "nach erweiterter Kettenregel".
>
>
> Gruß
> murmel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 13.12.2011 | | Autor: | murmel |
Hallo
ich bin noch ziemlich unsicher, was das Jonglieren mit diesen Operatoren betrifft,
für mich noch einmal zur totalen Verständnis (lol)
Heißt das nun nur den Term
[mm] $x\left(t\right) \cdot t^4$ [/mm] nacht t ableiten? Oder die komplette Funktion L -also alle $x, [mm] \dot [/mm] x, [mm] \ddot [/mm] x$ usw.?
Danke noch einmal, murmel
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Hallo murmel,
> Hallo
>
> ich bin noch ziemlich unsicher, was das Jonglieren mit
> diesen Operatoren betrifft,
>
> für mich noch einmal zur totalen Verständnis (lol)
>
> Heißt das nun nur den Term
>
> [mm]x\left(t\right) \cdot t^4[/mm] nacht t ableiten? Oder die
> komplette Funktion L -also alle [mm]x, \dot x, \ddot x[/mm] usw.?
>
Die komplette Funktion L ist nacht t zu differenzieren.
>
> Danke noch einmal, murmel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 14.12.2011 | | Autor: | murmel |
Hallo ihr fleißigen Helferlein,
eine Frage zur totalen Ableitung habe ich dann doch noch. Vielleicht erscheint euch meine Frage trivial, ich habe Mathe weder als Kern noch als Zweitfach. Nur in der Physik (theoretischen Physik) wird über "matehmatische Einschübe" kurz versucht zu erklären was beispielsweise das totale Differential ist. Aber leider habe ich es noch nicht im Einzelnen verstanden!
Also, wenn ich folgende Gleichung gegeben habe:
[mm]z \left( x \left( t \right) \right) = 2x \dot x-2[/mm]
Und ich bilde nun die totale Ableitung mit der erweiterten Kettenregel, dann erhalte ich:
[mm] $\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot \dot [/mm] x$
Oder eher
[mm] $\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot \dot [/mm] x$
Vom "Gefühl" her -oder so wie ich es beim "normalen" Differenzieren gelernt habe, wird eine Gleichung Null wenn lediglich nach einer Konstante abgeleitet wird.
Bitte habt etwas Nachsicht, ich finde diese Art von Mathematik schon spannend, sie ist aber sehr abstrakt und deswegen für mich etwas schwieriger nachzuvollziehen!
Vielen Dank für eure Erklärungen im Voraus!
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Hallo murmel,
> Hallo ihr fleißigen Helferlein,
>
>
> eine Frage zur totalen Ableitung habe ich dann doch noch.
> Vielleicht erscheint euch meine Frage trivial, ich habe
> Mathe weder als Kern noch als Zweitfach. Nur in der Physik
> (theoretischen Physik) wird über "matehmatische
> Einschübe" kurz versucht zu erklären was beispielsweise
> das totale Differential ist. Aber leider habe ich es noch
> nicht im Einzelnen verstanden!
>
>
> Also, wenn ich folgende Gleichung gegeben habe:
>
>
> [mm]z \left( x \left( t \right) \right) = 2x \dot x-2[/mm]
>
Dann hast Du hier wohl: [mm]z\left( \ x\left(t\right), \ \dot{x}\left(t\right) \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{dz}{dt}=\bruch{\partial z}{\partial x}*\bruch{d x}{\partial t}+\bruch{\partial z}{\partial \dot{x}}*\bruch{d \dot{x}}{\partial t}[/mm]
>
> Und ich bilde nun die totale Ableitung mit der erweiterten
> Kettenregel, dann erhalte ich:
>
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \dot x[/mm]
>
> Oder eher
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dot x[/mm]
>
> Vom "Gefühl" her -oder so wie ich es beim "normalen"
> Differenzieren gelernt habe, wird eine Gleichung Null wenn
> lediglich nach einer Konstante abgeleitet wird.
>
> Bitte habt etwas Nachsicht, ich finde diese Art von
> Mathematik schon spannend, sie ist aber sehr abstrakt und
> deswegen für mich etwas schwieriger nachzuvollziehen!
>
>
> Vielen Dank für eure Erklärungen im Voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 14.12.2011 | | Autor: | murmel |
Hallo mathepower,
ja ich habe vergessen [mm] $\dot [/mm] x$ abzuleiten, also [mm] $\ddot [/mm] x$.
$2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] ? [mm] \cdot \dot [/mm] x + [mm] 2x\, \ddot [/mm] x $
Jetzt bin ich vollkommen irritiert
> Dann ist
>
> [mm]\bruch{dz}{dt}=\bruch{\partial z}{\partial x}*\bruch{d x}{\partial t}+\bruch{\partial z}{\partial \dot{x}}*\bruch{d \dot{x}}{\partial t}[/mm]
willst du mir damit "sagen", dass dieser Teil der Ableitung Null wird, da ich partiell nach x ableite und dort eine Konstante steht und diese dann einfach partiell nach der Zeit ableite? Meinst du das damit?
Vielen Dank, murmel
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Hallo murmel,
> Hallo mathepower,
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> ja ich habe vergessen [mm]\dot x[/mm] abzuleiten, also [mm]\ddot x[/mm].
>
> [mm]2 \cdot 1 \cdot ? \cdot \dot x + 2x\, \ddot x[/mm]
Dann muss doch hier stehen:
[mm]2 \dot{x} \dot x + 2x\, \ddot x[/mm]
> Jetzt bin
> ich vollkommen irritiert
>
> > Dann ist
> >
> > [mm]\bruch{dz}{dt}=\bruch{\partial z}{\partial x}*\bruch{d x}{\partial t}+\bruch{\partial z}{\partial \dot{x}}*\bruch{d \dot{x}}{\partial t}[/mm]
>
> willst du mir damit "sagen", dass dieser Teil der Ableitung
> Null wird, da ich partiell nach x ableite und dort eine
> Konstante steht und diese dann einfach partiell nach der
> Zeit ableite? Meinst du das damit?
>
Mit der obigen Formel ist auch der Fall abgedeckt,
wenn x bzw [mm]\dot{x}[/mm] nicht von t abhängen.
>
> Vielen Dank, murmel
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 14.12.2011 | | Autor: | murmel |
Danke, das Ergebnis stimmt mit deinem überein wenn ich ausschließlich die Produktregel anwende.
Nach Kettenregel komme ich dann nämlich nicht auf [mm] $\dot [/mm] x$.
Die Quinzessenz ist also:
Kettenregel, wie gehabt bei verketteten Funktionen wie
[mm] $x^3$ [/mm] oder [mm] $3x^2$ [/mm] und/oder Produktregel wenn
[mm] $x\, \dot [/mm] x$ oder [mm] $3x^2\,\dot [/mm] x$
Dann kann ich alles nachvollziehen und habe das "Rezept" verinnerlicht.
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Hallo murmel,
> Danke, das Ergebnis stimmt mit deinem überein wenn ich
> ausschließlich die Produktregel anwende.
>
> Nach Kettenregel komme ich dann nämlich nicht auf [mm]\dot x[/mm].
>
> Die Quinzessenz ist also:
>
> Kettenregel, wie gehabt bei verketteten Funktionen wie
>
> [mm]x^3[/mm] oder [mm]3x^2[/mm] und/oder Produktregel wenn
>
> [mm]x\, \dot x[/mm] oder [mm]3x^2\,\dot x[/mm]
>
> Dann kann ich alles nachvollziehen und habe das "Rezept"
> verinnerlicht.
>
Ok.
Gruss
MathePower
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