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Topologischer Raum (2): Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:59 Mi 30.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
X sei eine nicht endliche Menge, $ [mm] \mathcal{O} [/mm] $ sei die Familie der Mengen, die aus $ [mm] \emptyset [/mm] $ und allen Komplementen von endlichen Teilmengen von X besteht. Zeigen Sie, dass $ [mm] (X,\mathcal{O}) [/mm] $ ein topologischer Raum ist.

Die Frage wurde hier schon gestellt. Leider ist der Thread recht lang und daher teile ich ihn jetzt in 3 einzelne Fragen auf.

Eine Korrektur wäre nett! :)

(i) $ [mm] \emptyset \in \mathcal{O}. [/mm] $ Nun ist $ [mm] \emptyset [/mm] $ ebenfalls endliche Teilmenge von X, also das Komplement $ [mm] \overline{\emptyset}=X\backslash\emptyset=X \in \mathcal{O}. [/mm] $

(ii) Sei $ [mm] U_i [/mm] $ endliche Teilmenge von X. => $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O}. [/mm] $

Weiter ist $ [mm] \bigcap_{i\in I}U_i \in [/mm] X $ endliche Teilmenge von X.

=> $ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $

und das Komplement vom Durchschnitt ist die Vereinigung der Komplemente der $ [mm] U_i, [/mm] $ also:

$ [mm] \overline{\bigcap_{i\in I}U_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{U_i} [/mm] $ Es folgt: $ [mm] \overline{U_i}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcup_{i\in I}\overline{U_i} \in \mathcal{O} [/mm] $

(iii) Seien $ [mm] U_1,...,U_n \in [/mm] $ X endlich. => $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] $

Weiter ist $ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}\in [/mm] X $ endlich. => $ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $

Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente der $ [mm] U_i. [/mm] $ Also:

$ [mm] \overline{\bigcup_{i=1}^n{U_i}}=\bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}} [/mm] $ Also: $ [mm] \overline{U_1},...,\overline{U_n}\in\mathcal{O} [/mm] => [mm] \bigcap_{i=1}^n{\overline{U_i}}\in\mathcal{O} [/mm] $

Ist das soweit nachvollziehbar?

Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn

        
Bezug
Topologischer Raum (2): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Fr 01.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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