Topologisch äquivalent < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 11.05.2005 | | Autor: | KingMob |
Hallo, ich habe hier eine Aussage zu beweisen, und ich komme einfach nicht voran. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Es ist zu zeigen, dass Metriken d, d' auf einer Menge X topologisch äquivalent sind, genau dann wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] X und jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 und ein [mm] \delta [/mm] ' > 0 gibt, so dass die beiden folgenden Aussagen gelten:
a) aus d'(x,y) < [mm] \delta [/mm] ' folgt d(x,y) < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X und
b) aus d(x,z) < [mm] \delta [/mm] folgt d'(x,z) < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] X
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine Topologie, die von einer Metrik induziert wird, ist die kleinste Topologie, die alle [mm] $\varepsilon$-Bälle [/mm] bezüglich dieser Metrik enthält. Diese Bälle bilden eine Basis der Topologie. Mit anderen Worten: Eine Menge [mm] $M\subset [/mm] X$ ist genau dann offen, wenn es für alle $x [mm] \in [/mm] M$ ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt mit
[mm] $B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] M$,
wobei
[mm] $B_{\varepsilon}(x):=\{y \in X\, : \, d(x,y) < \varepsilon\}$.
[/mm]
Um zu zeigen, dass zwei Topologien, die von zwei Metriken $d$ und $d'$ induziert werden, gleich sind, genügt es also zu zeigen, dass in jedem [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik $d$ ein geeigneter [mm] $\delta$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik $d'$ enthalten ist und umgekehrt (denn dann ist ja jeder [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] bezüglich der einen Metrik die Vereinigung von Bällen bezüglich der anderen Metrik und damit bezüglich der anderen Topologie offen und umgekehrt).
Das kannst du mit den gegebenen Bedingungen leicht nachweisen.
Versuche es bitte mal. 
Viele Grüße
Stefan
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