Topologie, Zusammenhängend < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $X$ ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
a) Eine Teilmenge [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ ist genau dann zusammenhängend (als Teilraum), wenn für je zwei offene Teilmengen [mm] $U,V\subseteq [/mm] X$ aus [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ und [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$ [/mm] bereits [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$ folgt.
b) Ist [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend, so auch der Abschluss [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] X$. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
zu a):
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei $Y$ zusammenhängend. Daher gilt für alle nichtleeren offenen Mengen (hierbei ist dann gemeint, dass die Mengen bezüglich der Teilraumtopologie offen sind, oder?) $U,V$, dass wenn [mm] $U\cap [/mm] V=Y$, so ist [mm] $U\cap V\neq\emptyset$.
[/mm]
Also $Y$ ist nicht als Vereinigung von nichtleeren disjunkten Mengen darstellbar.
Sei nun [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ mit [mm] $U\capV\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
Angenommen es gilt [mm] $Y\nsubseteq [/mm] U$ und [mm] $Y\nsubseteq [/mm] V$.
Dann gibt es [mm] $y_U, y_V\in [/mm] Y$, mit [mm] $y_U\notin [/mm] U$ und [mm] $y_V\notin [/mm] V$.
Hier komme ich jedoch nicht weiter um einen Widerspruch herzuleiten.
Ist der Ansatz überhaupt korrekt?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Di 31.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X[/mm] ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
>
> a) Eine Teilmenge [mm]Y\subseteq X[/mm] ist genau dann
> zusammenhängend (als Teilraum), wenn für je zwei offene
> Teilmengen [mm]U,V\subseteq X[/mm] aus [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] und [mm]U\cap V\cap Y=\emptyset[/mm]
> bereits [mm]Y\subseteq U[/mm] oder [mm]Y\subseteq V[/mm] folgt.
>
> b) Ist [mm]Y\subseteq X[/mm] zusammenhängend, so auch der Abschluss
> [mm]\overline{Y}\subseteq X[/mm].
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> zu a):
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]Y[/mm] zusammenhängend. Daher gilt für alle nichtleeren
> offenen Mengen (hierbei ist dann gemeint, dass die Mengen
> bezüglich der Teilraumtopologie offen sind, oder?)
Ja, also offen in Y.
> [mm]U,V[/mm],
> dass wenn [mm]U\cap V=Y[/mm], so ist [mm]U\cap V\neq\emptyset[/mm].
> Also [mm]Y[/mm]
> ist nicht als Vereinigung von nichtleeren disjunkten Mengen
> darstellbar.
Upps, da ist was danaben gegangen !
Y ist genau dann zusammenhängen, wenn aus
U,V offen in Y, U und V disjunkt und Y=U [mm] \cup [/mm] V
stets folgt
U= [mm] \emptyset [/mm] oder V= [mm] \emptyset.
[/mm]
>
> Sei nun [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] mit [mm]U\capV\cap Y=\emptyset[/mm].
Was machst Du da ??
>
> Angenommen es gilt [mm]Y\nsubseteq U[/mm] und [mm]Y\nsubseteq V[/mm].
> Dann
> gibt es [mm]y_U, y_V\in Y[/mm], mit [mm]y_U\notin U[/mm] und [mm]y_V\notin V[/mm].
>
> Hier komme ich jedoch nicht weiter um einen Widerspruch
> herzuleiten.
> Ist der Ansatz überhaupt korrekt?
Nein.
Vor. ist: Y ist zusammenhängend.
Zeigen sollst Du:
aus $ [mm] U,V\subseteq [/mm] X $, U,V offen (in X) , $ [mm] Y\subseteq U\cup [/mm] V $ und $ [mm] U\cap V\cap Y=\emptyset [/mm] $
folgt
$ [mm] Y\subseteq [/mm] U $ oder $ [mm] Y\subseteq [/mm] V $ .
Dazu setze [mm] U_1:=U \cap [/mm] Y und [mm] V_1:=V \cap [/mm] Y. Dann sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] V_1 [/mm] offen in Y.
Weiter gilt [mm] U_1 \cap V_1 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] (warum ?) und [mm] U_1 \cup V_1=Y [/mm] (warum ?)
Nach Vor. ist also [mm] U_1= \emptyset [/mm] oder [mm] V_1= \emptyset.
[/mm]
Zeige:
aus [mm] U_1= \emptyset [/mm] folgt Y [mm] \subseteq [/mm] V
und
aus [mm] V_1= \emptyset [/mm] folgt Y [mm] \subseteq [/mm] U.
FRED
>
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
Danke. Das hat mir sehr geholfen:
> Weiter gilt $ [mm] U_1 \cap V_1 [/mm] $ = $ [mm] \emptyset [/mm] $ (warum ?)
Angenommen es gilt [mm] $U_1\cap V_1\neq\emptyset$.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] $y\in U_1$ [/mm] und [mm] $y\in V_1$, [/mm] also auch [mm] $y\in [/mm] Y$ nach Definition von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $V_1$. [/mm] Also [mm] $y\in U_1, V_1, [/mm] Y$. Im Widerspruch zu [mm] $U_1\cap V_1\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
> und $ [mm] U_1 \cup V_1=Y [/mm] $ (warum ?)
Sei [mm] $x\in U_1\cup V_1$, [/mm] dann ist [mm] $x\in U_1$ [/mm] oder [mm] $x\in V_1$.
[/mm]
Also [mm] $x\in [/mm] U$ und [mm] $x\in [/mm] Y$ oder [mm] $x\in [/mm] V$ und [mm] $x\in [/mm] Y$. In beiden Fällen also [mm] $x\in [/mm] Y$
Für [mm] $x\in [/mm] Y$ ist [mm] $x\in U_1\cup V_1$ [/mm] trivial.
Also [mm] $Y=U_1\cup V_1$.
[/mm]
Da $Y$ zusammenhängend gilt also [mm] $U_1=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $V_1=\emptyset$.
[/mm]
Sei [mm] $U_1=\emptyset$.
[/mm]
Dann ist [mm] $U\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
1. Fall: [mm] Y=\emptyset [/mm] oder [mm] U=\emptyset [/mm] trivial
2. Fall: [mm] U\neq\emptyset [/mm] und [mm] Y\neq\emptyset
[/mm]
Also für alle [mm] $u\in [/mm] U$ ist [mm] $u\notin [/mm] Y$. Da [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ ist für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ auch [mm] $y\in [/mm] V$. Also [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 31.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke. Das hat mir sehr geholfen:
>
> > Weiter gilt [mm]U_1 \cap V_1[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] (warum ?)
>
> Angenommen es gilt [mm]U_1\cap V_1\neq\emptyset[/mm].
> Dann gibt es
> ein [mm]y\in U_1[/mm] und [mm]y\in V_1[/mm], also auch [mm]y\in Y[/mm] nach Definition
> von [mm]U_1[/mm] und [mm]V_1[/mm]. Also [mm]y\in U_1, V_1, Y[/mm]. Im Widerspruch zu
> [mm]U_1\cap V_1\cap Y=\emptyset[/mm].
>
> > und [mm]U_1 \cup V_1=Y[/mm] (warum ?)
>
> Sei [mm]x\in U_1\cup V_1[/mm], dann ist [mm]x\in U_1[/mm] oder [mm]x\in V_1[/mm].
>
> Also [mm]x\in U[/mm] und [mm]x\in Y[/mm] oder [mm]x\in V[/mm] und [mm]x\in Y[/mm]. In beiden
> Fällen also [mm]x\in Y[/mm]
>
> Für [mm]x\in Y[/mm] ist [mm]x\in U_1\cup V_1[/mm] trivial.
>
> Also [mm]Y=U_1\cup V_1[/mm].
>
> Da [mm]Y[/mm] zusammenhängend gilt also [mm]U_1=\emptyset[/mm] oder
> [mm]V_1=\emptyset[/mm].
>
> Sei [mm]U_1=\emptyset[/mm].
> Dann ist [mm]U\cap Y=\emptyset[/mm].
>
> 1. Fall: [mm]Y=\emptyset[/mm] oder [mm]U=\emptyset[/mm] trivial
>
> 2. Fall: [mm]U\neq\emptyset[/mm] und [mm]Y\neq\emptyset[/mm]
>
> Also für alle [mm]u\in U[/mm] ist [mm]u\notin Y[/mm]. Da [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm]
> ist für alle [mm]y\in Y[/mm] auch [mm]y\in V[/mm]. Also [mm]Y\subseteq V[/mm].
Ist O.K.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke.
Ich habe nun leider keine Zeit mehr mich mit der anderen Richtung und der b) zu beschäftigen. Das werde ich heute gegen Abend nachholen.
|
|
|
| |
|
Edit: Aus versehen eine weiter Mitteilung geschrieben.
|
|
|
| |
|
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei für je zwei offene Teilmengen [mm] $U,V\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ und [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$ [/mm] mit [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.
Ich muss zeigen, dass für je zwei offene Mengen [mm] $U_1, V_1$ [/mm] in $Y$ folgt, dass wenn [mm] $U_1\cup V_1=Y$, [/mm] dann ist [mm] $U_1=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $V_1=\emptyset$.
[/mm]
gilt.
Sei also o.B.d.A [mm] $Y\subseteq [/mm] U$. Dann ist [mm] $U\cap V\cap Y=V\cap Y=\emptyset$ [/mm] nach Voraussetzung.
Sei [mm] $U_1:=Y\cap [/mm] U$ und [mm] $V_1:=Y\cap [/mm] V$ offen in $Y$ mit [mm] $U_1\cup V_1=Y$.
[/mm]
Wegen [mm] $V_1\subseteq [/mm] V$, ist [mm] $V_1\cap Y=\emptyset$
[/mm]
Behauptung: [mm] $V_1=\emptyset$
[/mm]
Sei nun also [mm] $Y=U_1\cup V_1=(Y\cap U)\cup (Y\cap V)=Y\cup(Y\cap [/mm] V)$
Angenommen [mm] $V_1\neq \emptyset$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $y\in V_1$ [/mm] mit [mm] $y\in [/mm] V$ und [mm] $y\in [/mm] Y$. Im Widerspruch zu [mm] $V_1\cap Y=\emptyset$
[/mm]
Somit muss [mm] $V_1=\emptyset$ [/mm] gelten.
Der andere Fall geht dann analog.
|
|
|
| |
|
Über einen Kommentar zu diesem Beweis würde ich mich weiterhin sehr freuen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 03.06.2016 | | Autor: | huddel |
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Sei für je zwei offene Teilmengen [mm]U,V\subseteq X[/mm] mit
> [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] und [mm]U\cap V\cap Y=\emptyset[/mm] mit
> [mm]Y\subseteq U[/mm] oder [mm]Y\subseteq V[/mm].
>
> Ich muss zeigen, dass für je zwei offene Mengen [mm]U_1, V_1[/mm]
> in [mm]Y[/mm] folgt, dass wenn [mm]U_1\cup V_1=Y[/mm], dann ist [mm]U_1=\emptyset[/mm]
> oder [mm]V_1=\emptyset[/mm].
>
> gilt.
Hier fehlt eine Vorraussetzung
>
> Sei also o.B.d.A [mm]Y\subseteq U[/mm]. Dann ist [mm]U\cap V\cap Y=V\cap Y=\emptyset[/mm]
> nach Voraussetzung.
Soweit richtig
Ab hier versteh ich nicht mehr ganz was du machst
> Sei [mm]U_1:=Y\cap U[/mm] und [mm]V_1:=Y\cap V[/mm] offen in [mm]Y[/mm] mit [mm]U_1\cup V_1=Y[/mm].
>
> Wegen [mm]V_1\subseteq V[/mm], ist [mm]V_1\cap Y=\emptyset[/mm]
>
> Behauptung: [mm]V_1=\emptyset[/mm]
>
> Sei nun also [mm]Y=U_1\cup V_1=(Y\cap U)\cup (Y\cap V)=Y\cup(Y\cap V)[/mm]
>
> Angenommen [mm]V_1\neq \emptyset[/mm]. Dann gibt es ein [mm]y\in V_1[/mm] mit
> [mm]y\in V[/mm] und [mm]y\in Y[/mm]. Im Widerspruch zu [mm]V_1\cap Y=\emptyset[/mm]
>
> Somit muss [mm]V_1=\emptyset[/mm] gelten.
Aber du wolltest doch zeigen, dass $V = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, oder?
> Der andere Fall geht dann analog.
Es geht einfacher. Kleiner Startschubs:
Es gilt: [mm] $V\cap [/mm] Y = [mm] \emptyset$ [/mm] und [mm] $V\cup [/mm] U = Y$
$ [mm] \Rightarrow$ $V\cap [/mm] (V [mm] \cup [/mm] U) = V [mm] \cap [/mm] Y$
$ [mm] \Leftrightarrow$ [/mm] ... jetzt du
|
|
|
| |
|
Ich möchte zeigen, dass wenn [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend ist, dann ist auch der Abschluss [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend.
Seien $U,V$ disjunkte offene Mengen mit [mm] $Y\subseteq\overline{Y}\subseteq U\cup [/mm] V$.
Sei [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$. [/mm] Da $Y$ zusammenhängend, gilt nach a) [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.
Ohne Einschränkung sei [mm] $Y\subseteq [/mm] U$. Dann ist [mm] $V\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
Daher für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ist [mm] $y\notin [/mm] V$.
Somit [mm] $Y\subseteq X\setminus [/mm] V$ abgeschlossen, da $V$ offen.
Also gilt insbesondere [mm] $\overline{Y}\subseteq X\setminus [/mm] V$.
Dann ist aber auch [mm] $\overline{Y}\cap V=\emptyset$, [/mm] andernfalls wäre dies ein Widerspruch zu [mm] $\overline{Y}\subseteq X\setminus [/mm] V$.
Dann gilt wiederum [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] U$
Insgesamt folgt also aus [mm] $\overline{Y}\subseteq U\cup [/mm] V$ disjunkt mit [mm] $U\cap V\cap\overline{Y}=\emptyset$, [/mm] dass [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] U$.
Nach a) ist [mm] $\overline{Y}$ [/mm] also zusammenhängend.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Fr 03.06.2016 | | Autor: | huddel |
passt :)
|
|
|
|
