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| Aufgabe | a) Sei [mm] $\Lambda$ [/mm] eine gerichtete Menge und [mm] $\Lambda^+:=\Lambda\{\infty\}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann [mm] $\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}$
[/mm]
eine Topologie auf [mm] $\Lambda^+$ [/mm] ist.
b) Prüfen Sie, welche Netze in [mm] $\Lambda^+$ [/mm] konvergieren.
c) Sei nun $X$ ein topologischer Raum. Zeigen Sie: Eine Abbildung [mm] $f:\Lambda^+\to [/mm] X$ ist stetig genau dann, wenn das Netz [mm] (f(\lambda))_{\lambda\in\Lambda} [/mm] gegen [mm] $f(\infty)$ [/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe.
zu a):
Ich möchte zeigen, dass [mm] $\tau$ [/mm] eine Topologie auf [mm] $\Lambda^+$ [/mm] ist.
Dazu ist ja unter anderem zu zeigen, dass [mm] $\emptyset,\Lambda^+\in\tau$.
[/mm]
Nun ist aber [mm] $\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}$
[/mm]
Und [mm] $\Lambda^+$ [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] $\Lambda$. [/mm] Handelt es sich hierbei um einen Tippfehler?
Oder ist zu zeigen, dass [mm] $\emptyset, \Lambda\in\tau$, [/mm] was ich bezweifel.
Eine weitere Frage:
Wenn [mm] $\Lambda$ [/mm] eine gerichtete Menge ist, dann ist auch [mm] $\Lambda^+$ [/mm] eine gerichtete Menge, weil [mm] $\infty$ [/mm] eine obere Schranke für jedes Element aus [mm] $\Lambda^+$ [/mm] ist, und alle anderen Eigenschaften sich natürlich übertragen.
Das [mm] $\emptyset\in\tau$ [/mm] ist trivial, da [mm] $\infty\notin\emptyset$.
[/mm]
Nun möchte ich zeigen, dass [mm] $\Lambda^+\in\tau$, [/mm] wobei ich davon ausgehe, dass eigentlich
[mm] $\tau:=\{U\subseteq\Lambda^+|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}$
[/mm]
gemeint ist.
Da [mm] $\infty\in\Lambda^+$ [/mm] muss ein [mm] $\lambda_0\in\Lambda$ [/mm] existieren so, dass für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0\quad\lambda$ [/mm] ein Element von [mm] $\Lambda^+$ [/mm] ist.
Und dies gilt, da die Menge gerichtet ist, also transitiv.
Als nächstes zeige ich, dass wenn [mm] $V,W\in\tau$ [/mm] auch [mm] $V\cap W\in\tau$.
[/mm]
Ich mache eine Fallunterscheidung:
Seien [mm] $V,W\in\tau$
[/mm]
1. Fall:
[mm] $\infty\notin [/mm] V$ und [mm] $\infty\notin [/mm] W$, dann ist [mm] $\infty\notin V\cap W\in\tau$.
[/mm]
2. Fall:
[mm] $\infty\inV$ [/mm] und [mm] $\infty\in [/mm] W$, dann gibt es [mm] $\lambda_0,\lambda_1\in\Lambda$ [/mm] so, dass für alle für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$ [/mm] bereits [mm] $\lambda\in [/mm] V$ und für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_1$ [/mm] bereits [mm] $\lambda\in [/mm] W$.
Sei [mm] $\lambda_2:=\max\{\lambda_0,\lambda_1\}$, [/mm] dann gilt für [mm] $W\cap [/mm] V$, dass alle [mm] $\lambda\geq\lambda_2$ [/mm] auch [mm] $\lambda\in V\cap [/mm] W$.
Also [mm] $V\cap W\in\tau$.
[/mm]
3. Fall:
Sei o.B.d.A. [mm] $\infty\in [/mm] V$ und [mm] $\infty\notin [/mm] W$, dann ist [mm] $\infty\notin V\cap W\in\tau$.
[/mm]
Als letztes muss ich zeigen, dass wenn
[mm] $\mathcal{U}\subseteq\tau$ [/mm] folgt, dass [mm] $\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau.
[/mm]
Also:
Sei [mm] $\infty\notin [/mm] U$ für alle [mm] $U\in\mathcal{U}$, [/mm] dann ist [mm] $\infty\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}}\in\tau.
[/mm]
Es existiere nun ein [mm] $U_{\infty}\in\mathcal{U}$ [/mm] mit [mm] $\infty\in U_{\infty}$, [/mm] dann ist [mm] $\infty\in\bigcup_{U\in\mathcal{U}} [/mm] U.
Wegen [mm] $\infty\in U_{\infty}$ [/mm] existiert ein [mm] $\lambda_0\in\Lambda$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $\lambda\in U_{\infty}$ [/mm] ist.
Da [mm] $U_\infty\subseteq \bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau$, [/mm] da die selbe Eigenschaft für [mm] $\bigcup_{U\in\mathcal{U}} [/mm] U$ gilt.
Ich hoffe das ist so richtig. Ich habe auf analoge Art schon einmal die Eigenschaften 2) und 3) einer Topologie nachgewiesen, wo ich mir nicht sicher bin ist der (vermeidliche) Nachweis von [mm] $\Lambda^+\in\tau$.
[/mm]
Über einen Kommentar zum Aufgabenteil a) würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:25 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> a) Sei [mm]\Lambda[/mm] eine gerichtete Menge und
> [mm]\Lambda^+:=\Lambda\{\infty\}[/mm].
Das lautet wohl
[mm]\Lambda^+:=\Lambda \cup \{\infty\}[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass dann
> [mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
Das ist ein Tippfehler. Es soll so lauten:
[mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda^+|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
>
> eine Topologie auf [mm]\Lambda^+[/mm] ist.
>
> b) Prüfen Sie, welche Netze in [mm]\Lambda^+[/mm] konvergieren.
>
> c) Sei nun [mm]X[/mm] ein topologischer Raum. Zeigen Sie: Eine
> Abbildung [mm]f:\Lambda^+\to X[/mm] ist stetig genau dann, wenn das
> Netz [mm](f(\lambda))_{\lambda\in\Lambda}[/mm] gegen [mm]f(\infty)[/mm]
> konvergiert.
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe.
>
> zu a):
>
> Ich möchte zeigen, dass [mm]\tau[/mm] eine Topologie auf [mm]\Lambda^+[/mm]
> ist.
> Dazu ist ja unter anderem zu zeigen, dass
> [mm]\emptyset,\Lambda^+\in\tau[/mm].
>
> Nun ist aber [mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
>
> Und [mm]\Lambda^+[/mm] ist keine Teilmenge von [mm]\Lambda[/mm]. Handelt es
> sich hierbei um einen Tippfehler?
> Oder ist zu zeigen, dass [mm]\emptyset, \Lambda\in\tau[/mm], was
> ich bezweifel.
>
> Eine weitere Frage:
>
> Wenn [mm]\Lambda[/mm] eine gerichtete Menge ist, dann ist auch
> [mm]\Lambda^+[/mm] eine gerichtete Menge, weil [mm]\infty[/mm] eine obere
> Schranke für jedes Element aus [mm]\Lambda^+[/mm] ist, und alle
> anderen Eigenschaften sich natürlich übertragen.
>
>
> Das [mm]\emptyset\in\tau[/mm] ist trivial, da
> [mm]\infty\notin\emptyset[/mm].
>
> Nun möchte ich zeigen, dass [mm]\Lambda^+\in\tau[/mm], wobei ich
> davon ausgehe, dass eigentlich
>
> [mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda^+|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
>
> gemeint ist.
>
> Da [mm]\infty\in\Lambda^+[/mm] muss ein [mm]\lambda_0\in\Lambda[/mm]
> existieren so, dass für alle
> [mm]\lambda\geq\lambda_0\quad\lambda[/mm] ein Element von [mm]\Lambda^+[/mm]
> ist.
> Und dies gilt, da die Menge gerichtet ist, also transitiv.
>
>
> Als nächstes zeige ich, dass wenn [mm]V,W\in\tau[/mm] auch [mm]V\cap W\in\tau[/mm].
>
> Ich mache eine Fallunterscheidung:
>
> Seien [mm]V,W\in\tau[/mm]
>
> 1. Fall:
>
> [mm]\infty\notin V[/mm] und [mm]\infty\notin W[/mm], dann ist [mm]\infty\notin V\cap W\in\tau[/mm].
>
> 2. Fall:
>
> [mm]\infty\inV[/mm] und [mm]\infty\in W[/mm], dann gibt es
> [mm]\lambda_0,\lambda_1\in\Lambda[/mm] so, dass für alle für alle
> [mm]\lambda\geq\lambda_0[/mm] bereits [mm]\lambda\in V[/mm] und für alle
> [mm]\lambda\geq\lambda_1[/mm] bereits [mm]\lambda\in W[/mm].
>
> Sei [mm]\lambda_2:=\max\{\lambda_0,\lambda_1\}[/mm], dann gilt für
> [mm]W\cap V[/mm], dass alle [mm]\lambda\geq\lambda_2[/mm] auch [mm]\lambda\in V\cap W[/mm].
>
> Also [mm]V\cap W\in\tau[/mm].
>
> 3. Fall:
>
> Sei o.B.d.A. [mm]\infty\in V[/mm] und [mm]\infty\notin W[/mm], dann ist
> [mm]\infty\notin V\cap W\in\tau[/mm].
>
> Als letztes muss ich zeigen, dass wenn
>
> [mm]$\mathcal{U}\subseteq\tau$[/mm] folgt, dass
> [mm]$\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau.[/mm]
>
> Also:
>
> Sei [mm]$\infty\notin[/mm] U$ für alle [mm]$U\in\mathcal{U}$,[/mm] dann ist
> [mm]$\infty\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}}\in\tau.[/mm]
>
> Es existiere nun ein [mm]$U_{\infty}\in\mathcal{U}$[/mm] mit
> [mm]$\infty\in U_{\infty}$,[/mm] dann ist
> [mm]$\infty\in\bigcup_{U\in\mathcal{U}}[/mm] U.
>
> Wegen [mm]\infty\in U_{\infty}[/mm] existiert ein
> [mm]\lambda_0\in\Lambda[/mm] so, dass für alle [mm]\lambda\geq\lambda_0[/mm]
> gilt, dass [mm]\lambda\in U_{\infty}[/mm] ist.
> Da [mm]U_\infty\subseteq \bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau[/mm],
> da die selbe Eigenschaft für [mm]\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U[/mm]
> gilt.
>
>
> Ich hoffe das ist so richtig. Ich habe auf analoge Art
> schon einmal die Eigenschaften 2) und 3) einer Topologie
> nachgewiesen, wo ich mir nicht sicher bin ist der
> (vermeidliche) Nachweis von [mm]\Lambda^+\in\tau[/mm].
Ich hab Dir ja oben geschrieben, dass es in der Def. von [mm] \tau nicht\Lambda [/mm] sondern [mm] \Lambda^+ [/mm] lauten muss.
Allerdings bin ich erstaunt, wie wenig Du Ratschläge beherzigst. Hier
https://matheraum.de/read?t=1073806
hab ich Dir geraten den 1. Fall anders zu formulieren. Aber oben machst Du es wieder falsch.
FRED
>
>
> Über einen Kommentar zum Aufgabenteil a) würde ich mich
> sehr freuen.
>
>
> Vielen Dank im voraus.
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> Allerdings bin ich erstaunt, wie wenig Du Ratschläge beherzigst.
Ups, ich hatte das nicht extra nachgesehen und dachte ich hätte es im anderen Thread anders gemacht...
Aber ansonsten ist es korrekt?
Ich bin mir bei dem Nachweis [mm] $\Lambda^+\in\tau$ [/mm] nicht ganz sicher.
Ich habe es über die Transitivität gefolgert, doch bin ich mir nicht sicher, ob das so tatsächlich geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Allerdings bin ich erstaunt, wie wenig Du Ratschläge
> beherzigst.
>
> Ups, ich hatte das nicht extra nachgesehen und dachte ich
> hätte es im anderen Thread anders gemacht...
>
> Aber ansonsten ist es korrekt?
Ja
FRED
> Ich bin mir bei dem Nachweis [mm]\Lambda^+\in\tau[/mm] nicht ganz
> sicher.
>
> Ich habe es über die Transitivität gefolgert, doch bin
> ich mir nicht sicher, ob das so tatsächlich geht.
>
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Zum Aufgabenteil b):
Ich denke, dass alle Netze in [mm] $\Lambda^+$ [/mm] konvergieren, welche nicht [mm] $\infty$ [/mm] als Element enthalten.
Sei [mm] $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda^+}$ [/mm] und [mm] $x\in\Lambda^+$ [/mm] ein Netz.
[mm] $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda^+}$ [/mm] konvergiert genau dann gegen [mm] $x\in\Lambda^+$, [/mm] wenn für jede Umgebung $U$ von $x$ ein [mm] $\lambda_0\in\Lambda^+$ [/mm] existiert mit [mm] $x_\lambda\in [/mm] U$ für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$.
[/mm]
Sei $U$ eine Umgebung von $x$, dann gibt es eine offene Menge [mm] $V\subseteq\Lambda^+$ [/mm] mit [mm] $x\in V\subseteq [/mm] U$. Da $V$ offen in [mm] $\tau$, [/mm] ist [mm] $\infty\notin [/mm] V$ oder es existiert ein [mm] $\lambda_0\in\Lambda$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $\lambda\in [/mm] V$.
Wenn [mm] $\infty\in [/mm] V$, dann konvergiert [mm] $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda^+}$ [/mm] nicht.
Wenn [mm] $\infty\notin [/mm] V$, dann [mm] $\exists\lambda_0\in\Lambda$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$ [/mm] gilt, [mm] $\lambda\in [/mm] V$.
Die Eigenschaft der Topologie ist ja (für [mm] $\infty\notin [/mm] V$) die Konvergenz, wenn ich das richtig sehe.
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Entschuldigung, obige Mitteilung sollte natürlich eine Frage sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 21.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Di 19.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> a) Sei [mm]\Lambda[/mm] eine gerichtete Menge und
> [mm]\Lambda^+:=\Lambda\{\infty\}[/mm].
(Ich gehe davon aus, dass [mm] $\Lambda\red\cup\{\infty\}$ [/mm] gemeint ist und [mm] $\infty\notin\Lambda$ [/mm] gilt.)
> Zeigen Sie, dass dann
> [mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
>
> eine Topologie auf [mm]\Lambda^+[/mm] ist.
Auch mit der Korrektur [mm] $U\subseteq\Lambda^+$ [/mm] anstelle von [mm] $U\subseteq\Lambda$ [/mm] ist diese Aussage im Falle [mm] $\Lambda$ [/mm] die leere Menge falsch, da [mm] $\Lambda^+\in\tau$ [/mm] nicht erfüllt ist.
Oder habt ihr gerichtete Mengen stets als nichtleer vorausgesetzt?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
>
> > a) Sei [mm]\Lambda[/mm] eine gerichtete Menge und
> > [mm]\Lambda^+:=\Lambda\{\infty\}[/mm].
> (Ich gehe davon aus, dass [mm]\Lambda\red\cup\{\infty\}[/mm]
> gemeint ist und [mm]\infty\notin\Lambda[/mm] gilt.)
>
>
> > Zeigen Sie, dass dann
> > [mm]\tau:=\{U\subseteq\Lambda|\infty\notin U\quad\text{oder}\exists\lambda_0\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_0:\lambda\in U\}[/mm]
>
> >
> > eine Topologie auf [mm]\Lambda^+[/mm] ist.
> Auch mit der Korrektur [mm]U\subseteq\Lambda^+[/mm] anstelle von
> [mm]U\subseteq\Lambda[/mm] ist diese Aussage im Falle [mm]\Lambda[/mm] die
> leere Menge falsch, da [mm]\Lambda^+\in\tau[/mm] nicht erfüllt
> ist.
> Oder habt ihr gerichtete Mengen stets als nichtleer
> vorausgesetzt?
Hallo Tobias,
ich bin nicht im Bilde, was die Chefs von ImplititeFunktionen von einer gerichteten Menge fordern, ich fodere jedenfalls, dass eine solche Menge nichtleer ist. Andere fordern das auch, ich denke, dass das üblich ist.
Gruß FRED
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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Wir haben eine gerichtete Menge wie folgt definiert:
Eine gerichtete Menge ist eine Menge [mm] $\Lambda$ [/mm] mit einer Relation [mm] $\preceq$ [/mm] die folgende Eigenschaften hat:
1) [mm] $\preceq$ [/mm] ist eine partielle Ordnung, d.h. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
2) für alle [mm] $\lambda, \lambda'\in\Lambda$ [/mm] ex. ein [mm] $\lambda''$ [/mm] mit [mm] $\lambda\preceq\lambda''$ [/mm] und [mm] $\lambda'\preceq\lambda''$
[/mm]
Anscheinend fordert man nicht, dass [mm] $\lambda''\in\Lambda$ [/mm] liegt.
Gibt es denn dann für diese obere Schranke irgendeine Einschränkung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 19.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Wir haben eine gerichtete Menge wie folgt definiert:
>
> Eine gerichtete Menge ist eine Menge [mm]\Lambda[/mm] mit einer
> Relation [mm]\preceq[/mm] die folgende Eigenschaften hat:
>
> 1) [mm]\preceq[/mm] ist eine partielle Ordnung, d.h. reflexiv,
> antisymmetrisch und transitiv.
(Ich kenne auch die Version, dass man keine Antisymmetrie fordert.)
> 2) für alle [mm]\lambda, \lambda'\in\Lambda[/mm] ex. ein [mm]\lambda''[/mm]
> mit [mm]\lambda\preceq\lambda''[/mm] und [mm]\lambda'\preceq\lambda''[/mm]
>
> Anscheinend fordert man nicht, dass [mm]\lambda''\in\Lambda[/mm]
> liegt.
Das ist dann unglücklich formuliert. Gemeint ist aber auf alle Fälle [mm] $\lambda''\in\Lambda$. [/mm] Sonst ergeben Aussagen wie [mm]\lambda\preceq\lambda''[/mm] und [mm]\lambda'\preceq\lambda''[/mm] überhaupt keinen Sinn.
Offenbar ist bei euch (so wie ich es auch kannte) nicht gefordert, dass [mm] $\Lambda$ [/mm] nichtleer ist.
Dann muss bei der vorliegenden Aufgabe explizit gefordert werden, dass [mm] $\Lambda$ [/mm] nichtleer ist.
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zu Aufgabenteil c):
Eine Abbildung [mm] $f:\Lambda^+\to [/mm] X$ ist stetig genau dann, wenn das Netz [mm] $(f(\lambda))_{\lambda\in\Lambda} [/mm] gegen [mm] $f(\infty)$ [/mm] konvergiert.
Wir haben folgende Äquivalenz gezeigt:
Für jede Abbildung [mm] $f:X\to [/mm] Y$ zwischen topologischen Räumen sind äquivalent:
I) $f$ ist stetig
II) für jedes Netz [mm] $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ [/mm] in $X$ und jedes $x$ in $X$ gilt:
[mm] $x_\lambda\to_{\lambda\to\infty} x\Rightarrow f(x_\lambda)\to_{\lambda\to\infty} [/mm] f(x)$
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $f:\Lambda^+\to [/mm] X$ stetig, dann ist zu zeigen, dass [mm] $x_\lambda\to_{\lambda\to\infty}\infty$.
[/mm]
Sei $U$ eine beliebige Umgebung von [mm] $\infty$, [/mm] dann existiert eine offene Menge V mit [mm] $\infty\in V\subseteq [/mm] U$. Da [mm] $\infty\in [/mm] V$ existiert ein [mm] $\lambda_0\in\Lambda$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0\quad\lambda\in [/mm] V$ liegt.
Zeigen muss ich jedoch [mm] $x_\lambda\in [/mm] U$ für alle [mm] $\lambda\geq\lambda_0$.
[/mm]
Da [mm] $\lambda\in V\subseteq [/mm] U$ ist natürlich auch [mm] $\lambda\in [/mm] U$, aber wie zeige ich, dass [mm] $x_\lambda\in [/mm] U$ gilt. Bzw. was ist [mm] $x_\lambda$ [/mm] konkret?
[mm] (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} [/mm] ist eine Familie von Elementen in [mm] $\Lambda^+$ [/mm] mit einer gerichteten Menge [mm] $\Lambda$, [/mm] aber kann ich mit dem was ich bisher habe überhaupt irgendeine Aussage über [mm] $x_\lambda$ [/mm] treffen?
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Hat jemand noch einen Kommentar zu den offenen Fragen?
Ich würde mich sehr freuen.
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Ich würde mich weiterhin sehr über Anmerkungen zum Aufgabenteil b) und c) freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 23.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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