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Topologie, Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Di 15.06.2004
Autor: mori

X ist ein T2- Raum und X`= ("X" vereinigt mit "unendlich"), wobei unendlich von allen Punkten von X verschieden (also ein neuer Punkt) ist.

z.z. ist:
1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X nicht quasikompakt ist.
2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.

ich habe mir zuerst mal die Definitionen vorgenommen:
ein top raum heißt quasikompakt, wenn jede offene überdeckung eine endl teilüberdeckung besitzt.
T2-Raum: Je 2 verschiedene Punkte besitzen disjunkte Umgebungen.
ein T2- Raum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt x eine quasikompakte Umgebung besitzt.

        
Bezug
Topologie, Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mi 16.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Mori!

Du musst dir erst einmal die Topologie in $X'=X [mm] \cup \{\infty\}$ [/mm] klar machen: Die offenen Mengen in $X'$ sind die offenen Mengen in $X$ und die Komplemente $X' [mm] \setminus [/mm] K$ kompakter Mengen $K [mm] \subset [/mm] X$.

Eine (offene) Umgebungsbasis von [mm] $\infty$ [/mm] wird somit durch

[mm] $\{X' \setminus K\, : \, K \subset X \, , \, K \ \mbox{kompakt}\}$ [/mm]

gegeben.

Nun zu deiner Aufgabe:

>  1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X
> nicht quasikompakt ist.

$X$ ist genau dann ein dichter Teilraum von $X'$, wenn in jeder Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] auch Elemente aus $X$ liegen, also -unter Beachtung der oben erläuterten Topologie- genau dann, wenn für alle kompakten Teilmenge $K$ von $X$ gilt:

(*) $X [mm] \cap [/mm] (X' [mm] \setminus [/mm] K) [mm] \ne \emptyset$. [/mm]

Offenbar ist das genau dann der Fall, wenn $X$ selber nicht kompakt ist, da (*) nur für $K=X$ nicht erfüllt sein kann.


>  2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.

Wenn $X$ nicht lokal kompakt ist, dann gibt es einen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$, der keine kompakte Umgebung besitzt. Es gibt also ein $x [mm] \in [/mm] X$, für das

$x [mm] \notin [/mm] K$,

also:

$x [mm] \in [/mm] X' [mm] \setminus [/mm] K$

für alle kompakten Teilmengen $K [mm] \subset [/mm] X$ gilt.

Somit liegt dieses $x$ in allen Umgebungen von [mm] $\infty$, [/mm] d.h. die beiden Punkte $x$ und [mm] $\infty$ [/mm] lassen sich nicht trennen. Daher ist $X'$ nicht $T2$.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Melde dich bei Fragen einfach wieder. :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
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Topologie, Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Mi 16.06.2004
Autor: mori

hallo stefan.

erst einmal vielen dank für die schnelle und ausführliche antwort. ich habe sogar einen großteil verstanden!

aber noch eine frage:
ich verstehe nicht, wie man auf die konstruktion der topologie in X` kommt, wieso müssen da die komplemente von kompakten teilmengen aus X drin sein?
dann ergibt sich für mich noch die frage, weshalb in der topologie auf X` die Mengen [mm]X \setminus K[/mm]  drin sind und nicht die Mengen
X`[mm] \setminus K[/mm](oder macht das keinen großen unterschied)?
viele grüße
mori


Bezug
                        
Bezug
Topologie, Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mi 16.06.2004
Autor: Stefan

Hallo mori!

> erst einmal vielen dank für die schnelle und ausführliche
> antwort. ich habe sogar einen großteil verstanden!

Das freut mich! [prost]
  

> aber noch eine frage:
>  ich verstehe nicht, wie man auf die konstruktion der
> topologie in X` kommt, wieso müssen da die komplemente von
> kompakten teilmengen aus X drin sein?

Die Topologie ist nun mal so definiert. Warum? Nun, das ist die einzig "natürliche" Art und Weise um offene Umgebungen von [mm] $\infty$ [/mm] zu definieren. Wie sollten diese sonst aussehen? Es ist in erster Linie die Definition.

Mach dir doch mal klar, dass dadurch eine Topologie auf $X'$ definiert wird, d.h. weise die Axiome nach.

Beachte dabei aber folgendes:

> dann ergibt sich für mich noch die frage, weshalb in der
> topologie auf X` die Mengen [mm]X \setminus K[/mm]  drin sind und
> nicht die Mengen
> X`[mm] \setminus K[/mm](oder macht das keinen großen unterschied)?

Ich habe mich da verschrieben, entschuldige bitte!!! Ich meinte $X' [mm] \setminus [/mm] K$. Ich verbessere es jetzt sofort in meinem alten Beitrag. Schön, dass du das bemerkt hast. Das zeigt, dass du mitdenkst. [ok]

Liebe Grüße
Stefan


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