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| Aufgabe | Für [mm]a>0[/mm] bezeichne [mm] \tau_{a} [/mm] die Initialtopologie bzgl der Abbildungen [mm] \delta_{x}:f \to [/mm] f(x) x [mm] \in [/mm] [0,a] auf dem Raum C[0,a] der stetigen Funktionen auf [0,a].
Zeigen Sie dass für a,b > 0 die topologischen Räume (C[0,a], [mm] \tau_{a}) [/mm] und (C[0,b], [mm] \tau_{b}) [/mm] homöomorph sind. |
Hallo,
Ich werde einfach mal meine Idee zum Beweis posten.
Behauptung: für a,b > 0 sind die topologischen Räume (C[0,a], [mm]\tau_{a}[/mm]) und (C[0,b], [mm] \tau_{b}) [/mm] homöomorph.
Beweis:
Definiere: [mm](\Phi f)(x) := f(\frac{a}{b}x)[/mm] , hierdurch wird eine Bijektion [mm] \Phi [/mm] von C[0,a] auf C[0,b] festgelegt. (Mit Umkehrabbildung : [mm] (\Phi^{-1}g)(x):=g(\frac{b}{a}c)))
[/mm]
[mm] \Phi(f) \in [/mm] C[0,b] denn x [mm] \to (\Phi \circ [/mm] f)(x) ist als Zusammensetzung der stetigen Funktionen f und x [mm] \to \frac{a}{b}x [/mm] stetig.
[mm] \Phi [/mm] ist nun genau dann stetig wenn für alle x [mm] \in [/mm] [0,b] die Abbildung [mm] \delta_{x} \circ \Phi:(C[0,a],\Tau_{a}) \to \IR, [/mm] f [mm] \to (\delta_{x} \circ \Phi(f)) [/mm] stetig ist.
Es gilt: [mm] (\delta_{x} \circ \Phi)(f) [/mm] = [mm] \delta_{x}(\Phi(f)) [/mm] = [mm] (\Phi(f))(x) [/mm] = [mm] f(\frac{a}{b}x) [/mm] = [mm] \delta_{\frac{a}{b}x}(f)
[/mm]
Die Abbildung: f [mm] \to \delta_{\frac{a}{b}x}(f) [/mm] ist nach Def. der Initialtopologie für alle x [mm] \in [/mm] [0,b] stetig von [mm] (C[0,a],\tau_{a}) \to \IR [/mm] .
Somit ist [mm] \Phi [/mm] stetig.
Selbes Vorgehen für die Umkehrabbildung.
Es folgt:
für a,b > 0 sind die topologischen Räume [mm] (C[0,a],\tau_{a}) [/mm] und [mm] (C[0,b],\tau_{b}) [/mm] homöomorph.
Klappt der Beweis?
Lg Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Do 27.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]a>0[/mm] bezeichne [mm]\tau_{a}[/mm] die Initialtopologie bzgl der
> Abbildungen [mm]\delta_{x}:f \to[/mm] f(x) x [mm]\in[/mm] [0,a] auf dem Raum
> C[0,a] der stetigen Funktionen auf [0,a].
>
> Zeigen Sie dass für a,b > 0 die topologischen Räume
> (C[0,a], [mm]\tau_{a})[/mm] und (C[0,b], [mm]\tau_{b})[/mm] homöomorph
> sind.
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> Hallo,
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> Ich werde einfach mal meine Idee zum Beweis posten.
>
> Behauptung: für a,b > 0 sind die topologischen Räume
> (C[0,a], [mm]\tau_{a}[/mm]) und (C[0,b], [mm]\tau_{b})[/mm] homöomorph.
> Beweis:
>
> Definiere: [mm](\Phi f)(x) := f(\frac{a}{b}x)[/mm] , hierdurch wird
> eine Bijektion [mm]\Phi[/mm] von C[0,a] auf C[0,b] festgelegt. (Mit
> Umkehrabbildung : [mm](\Phi^{-1}g)(x):=g(\frac{b}{a}c)))[/mm]
> [mm]\Phi(f) \in[/mm] C[0,b] denn x [mm]\to (\Phi \circ[/mm] f)(x) ist als
> Zusammensetzung der stetigen Funktionen f und x [mm]\to \frac{a}{b}x[/mm]
> stetig.
> [mm]\Phi[/mm] ist nun genau dann stetig wenn für alle x [mm]\in[/mm] [0,b]
> die Abbildung [mm]\delta_{x} \circ \Phi:(C[0,a],\Tau_{a}) \to \IR,[/mm]
> f [mm]\to (\delta_{x} \circ \Phi(f))[/mm] stetig ist.
> Es gilt: [mm](\delta_{x} \circ \Phi)(f)[/mm] = [mm]\delta_{x}(\Phi(f))[/mm]
> = [mm](\Phi(f))(x)[/mm] = [mm]f(\frac{a}{b}x)[/mm] =
> [mm]\delta_{\frac{a}{b}x}(f)[/mm]
>
> Die Abbildung: f [mm]\to \delta_{\frac{a}{b}x}(f)[/mm] ist nach Def.
> der Initialtopologie für alle x [mm]\in[/mm] [0,b] stetig von
> [mm](C[0,a],\tau_{a}) \to \IR[/mm] .
> Somit ist [mm]\Phi[/mm] stetig.
>
> Selbes Vorgehen für die Umkehrabbildung.
>
> Es folgt:
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>
> für a,b > 0 sind die topologischen Räume
> [mm](C[0,a],\tau_{a})[/mm] und [mm](C[0,b],\tau_{b})[/mm] homöomorph.
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> Klappt der Beweis?
Ich habe nichts zu meckern
FRED
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> Lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Do 27.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Super, danke fürs durchschauen.
Lg
THomas
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