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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Sei [mm] (Y,\parallel.\parallel) [/mm] ein Banachraum, f : [a,b] [mm] \rightarrow [/mm] Y stetig und differenzierbar auf (a,b), mit f'(t)=0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] (a,b).
Zeige: [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] (a,b) gilt [mm] \bruch{d}{dt}(\parallel f(t)\parallel)=\limes_{s\rightarrow t}\bruch{\parallel f(s)\parallel - \parallel f(t)\parallel}{s-t}=0 [/mm] |
Hallo miteinander,
bezüglich obiger Aufgabenstellung habe ich ein paar Probleme. Mir ist nicht ganz klar, wo die Schwierigkeit liegt... Eventuell mach ich es mir zu leicht, wenn ich es wie folgt angehe: ich könnte ja eine Hilfsfunktion g(t) := [mm] \parallel [/mm] f(t) [mm] \parallel [/mm] definieren und dann ist die Sache doch schon gezeigt, oder nicht?
Ich würde mich freuen, wenn ihr mich mit konstruktiver Kritik unterstützen würdet ;)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](Y,\parallel.\parallel)[/mm] ein Banachraum, f : [a,b]
> [mm]\rightarrow[/mm] Y stetig und differenzierbar auf (a,b), mit
> f'(t)=0 [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] (a,b).
> Zeige: [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] (a,b) gilt [mm]\bruch{d}{dt}(\parallel f(t)\parallel)=\limes_{s\rightarrow t}\bruch{\parallel f(s)\parallel - \parallel f(t)\parallel}{s-t}=0[/mm]
>
> Hallo miteinander,
>
> bezüglich obiger Aufgabenstellung habe ich ein paar
> Probleme. Mir ist nicht ganz klar, wo die Schwierigkeit
> liegt... Eventuell mach ich es mir zu leicht, wenn ich es
> wie folgt angehe: ich könnte ja eine Hilfsfunktion g(t) :=
> [mm]\parallel[/mm] f(t) [mm]\parallel[/mm] definieren und dann ist die Sache
> doch schon gezeigt, oder nicht?
So einfach gehts nicht !
Du mußt die umgekehrte Dreiecksungleichung benutzen : | ||x||-||y|| | [mm] \le [/mm] ||x-y|| für x,y [mm] \in [/mm] Y
Also:
[mm] |\bruch{||f(t)||- ||f(s)||}{t-s}| \le\bruch{||f(t)-f(s)||}{|t-s|} =||\bruch{f(t)-f(s)}{t-s}||
[/mm]
Lasse jetzt s gegen t gehen.
FRED
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mich mit konstruktiver
> Kritik unterstützen würdet ;)
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Danke dir, für deine Hilfe!
Aber dann bekomm ich doch eine Ungleichung... und kein Gleichheitszeichen... Hm... Oder ist das nicht relevant?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben
$0 [mm] \le |\bruch{||f(t)||- ||f(s)||}{t-s}| \le\bruch{||f(t)-f(s)||}{|t-s|} =||\bruch{f(t)-f(s)}{t-s}|| [/mm] $
Nach Vor. ist f'(t) = 0 für jedes t [mm] \in [/mm] (a,b), also ist
[mm] \limes_{s\rightarrow t}||\bruch{f(t)-f(s)}{t-s}|| [/mm] = 0
Was folgt dann wohl für [mm] \limes_{s\rightarrow t} |\bruch{||f(t)||- ||f(s)||}{t-s}| [/mm] ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Richtig... *peinlich* Sorry, das habe ich im Gefechtseifer übersehen... ;) Danke dir, für den Hieb mit dem Zaunpfahl... :-/ Das müsste dann ja flott erledigt sein! Dankeschön von Herzen!
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