Ticketverkauf Fluggesellschaft < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Ein Anteil [mm] p\in(0,1) [/mm] aller Fluggäste, die Karten reservieren, erscheint nicht. Jede Fluggesellschaft
weiß dies und verkauft n+k Flugkarten für n verfügbare Plätze. Im folgenden nehmen wir an, dass
immer alle Flugkarten verkauft werden. (Benötigte Werte der Verteilungsfunktion der Standard-
Normalverteilung stehen in der üblichen Tabelle)
a) Wie groß ist die exakte Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Fluggäste einen Platz bekommen,
wenn die einzelnen Passagiere sich unabhängig voneinander verhalten?
b) Bestimme nun approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Flug überbucht ist,
wenn das Flugzeug n=240 Plätze hat, k=16 zusätzliche Flugkarten für diesen Flug verkauft
werden, und der Anteil der Fluggäste, die nicht erscheinen, p=0.1 ist. |
Hiho.
Also zunächst mal hat unser Übungsgruppenleiter gesagt, wir sollen für alle Passagiere [mm] i=1,\ldots,n+k [/mm] (es gibt n+k Passagiere, da
immer alle n+k Tickets verkauft werden) [mm] X_i=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn Passagier i nicht auftaucht} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] setzen, weil die Rechnungen dann einfacher seien.
Nun gut. Dann habe ich noch X="Anzahl der Passagiere, die nicht [mm] auftauchen"=$\sum_{i=1}^{n+k}X_i$ [/mm] gesetzt und es gilt [mm] X_i\sim\operatorname{Bin}(1,p) [/mm] und [mm] X\sim\operatorname{Bin}(n+k,p).
[/mm]
Gesucht ist in a) nun die Wkeit, dass nicht alle Fluggäste einen Platz bekommen, also mehr als n Fluggäste kommen, also weniger als k nicht kommen, also [mm] P(X
gruß triad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 01.02.2013 | | Autor: | luis52 |
> Gesucht ist in a) nun die Wkeit, dass nicht alle Fluggäste
> einen Platz bekommen, also mehr als n Fluggäste kommen,
> also weniger als k nicht kommen, also
> [mm]P(X
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]P(X
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 02.02.2013 | | Autor: | triad |
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> > Gesucht ist in a) nun die Wkeit, dass nicht alle Fluggäste
> > einen Platz bekommen, also mehr als n Fluggäste kommen,
> > also weniger als k nicht kommen, also
> > [mm]P(X
> >
>
> [mm]P(X
>
> vg Luis
Richtig, natürlich muss man die Gesamtzahl der Tickets betrachten, die verkauft werden. Dann muss es aber im letzten Exponenten auch so stehen, also [mm] P(X
Nun mal zur b): Hier hat man nun Werte gegeben und soll eine Wkeit approximativ bestimmen. Da X binomialverteilt ist, die "Faustregel" [mm] (n+k)*p*(1-p)=23.04\ge9 [/mm] hinhaut und weil es in der Aufgabenstellung schon angedeutet wurde habe ich die Normalapproximation der Binomialverteilung gewählt.
Dazu setzen wir [mm] $S_n$=X=Anzahl [/mm] Passagiere, die nicht kommen. Dann ist [mm] S_n\sim\operatorname{Bin}(256,0.1),\; E[S_n]=(n+k)*p=25.6,\; V(S_n)=(n+k)*p*(1-p)=23.04 [/mm] und [mm] \wurzel{V(S_n)}=\sigma=\wurzel{23.04}=4.8 [/mm] .
Nun bin ich mir unsicher welche Wkeit gesucht ist. Ist es die einseitige [mm] P(S_n
Wobei ich nicht genau weiß, wie man i und j (ganzzahlige Werte 0≤i≤j≤n) bestimmt.
Wir hatten ein Bsp. 600x Würfeln, [mm] $S_n$=Anzahl [/mm] Sechsen, [mm] S_n\sim\operatorname{Bin}(600,\frac{1}{6}), E[S_n]=100, V(S_n)=\frac{500}{6} \Rightarrow \wurzel{V(S_n)}=9.13.
[/mm]
Normalapprox.: [mm] P(90\le S_n\le{}110)=..., [/mm] also wie man hier auf die 90 und 110 kommt ist mir nicht 100% klar. Man könnte jetzt sagen, das ist der Erwartungswert plus/minus die Standardabweichung (nächsthöhere ganze Zahl). Aber wie ist das dann bei der b)? Da hat man einen nicht ganzzahligen Erwartungswert. Also erst i,j ausrechnen und dann runden?
gruß triad
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wieso endet die Summe bei der exakten warscheinlichkeit bei j = k?
muss es nicht j = k-1 sein?
Da ja, wenn alle personen, die eine der k-doppelbelegten plätze NICHT kommen würden, hätten die restl. n leute ja alle einen Platz.
oder?
(daher auch das echt kleiner)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Sa 02.02.2013 | | Autor: | luis52 |
> wieso endet die Summe bei der exakten warscheinlichkeit bei
> j = k?
> muss es nicht j = k-1 sein?
>
Da ist etwas dran, stimmt.
vg Luis
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He hallöchen
Zufälligerweise arbeite ich an der selben Aufgabe.
(bzgl. Teil b) )
Habe als Endergebnis eine 2%-ige Wkeit, dass es überbuchungen gibt raus.
Kann das stimmen?
(Hatte sowohl mit Poisson-Approx. als auch mit Normalverteilung dieses ergebnis.)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 02.02.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Kann das stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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hier, Folie 51,