Theta - Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich beschäftige mich gerade mit der Theta -Funktion, und habe Fragen bezüglich einiger Umformungen.
Satz :
Sei [mm] H = \{ x + iy \ | \ y > 0 \} [/mm]
Die Reihe [mm] \theta (z) = \summe_{ n = - \infty }^{ \infty } e^{ \pi n^2 i z } [/mm] konvergiert für alle [mm] z \in H [/mm] und lokal gleichmäßig in H.
Es gelten für [mm] z \in H [/mm]:
1. [mm] \theta ( z + 2 ) = \theta ( z ) [/mm]
2. [mm] \theta ( \bruch{ -1 }{z} ) = \wurzel{ \bruch{z}{i} } \theta (z) [/mm]
Beweis :
[mm] | e^{ \pi n^2 i z } | =e^{- \pi n^2 Im( z ) } [/mm] ( Was hat man hier gemacht ? )
Zu 1 )
[mm] e^{ \pi n^2 i (z+2) } = e^{ \pi n^2 i z } \cdot e^{ 2 \pi n^2 i } [/mm] Der letzter Term ergibt 1 und somit ist die Behauptung bewiesen.
Den restlichen Beweis gibt es leider bei unn in der Vorlesung nicht.. Und zum Thema Theta _ Funktionen ist das alles, kaum zu glauben...
Ich hoffe, dass mir jemand bei dieser Umformung helfen kann!
Vielen Dank , viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]| e^{ \pi n^2 i z } | =e^{- \pi n^2 Im( z ) }[/mm] ( Was hat
> man hier gemacht ? )
(...) eine Rechenregel für komplexe Zahlen verwendet. Und zwar gilt für
[mm] $z=x+iy\in\IC$
[/mm]
[mm] $\vert{e^{z}}\vert=e^x$
[/mm]
Speziell für Deinen Fall hast Du damit
[mm] $\vert{e^{iz}}\vert=\vert{e^{ix-y}}\vert=e^{-y}$
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank!
Ich habe das z nicht als komplexe Zahl ausgeschrieben und somit leider nicht gesehen...
Viele Grüße
Irmchen
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