Theorem Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vorbemerkung zum Theorem:
Sei [mm] \varphi [/mm] eine Abbildung von einer Gruppe G in eine Gruppe G' . Für jedes Wort [mm] r=x_1 \dotsc x_n [/mm] im Alphabet [mm] X^{\pm} [/mm] definieren wir [mm] \varphi [/mm] (r) = [mm] \varphi (x_1) \dotsc \varphi (x_n) [/mm] , unter der Annahme, dass [mm] \varphi (x^{-1}) [/mm] = [mm] (\varphi (x))^{-1} [/mm] für x [mm] \in [/mm] X.
5.7 Theorem:
Sei G eine Gruppe und G' eine andere Gruppe. Jede Abbildung [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] G' mit [mm] \varphi [/mm] (r) =1 für alle r [mm] \in [/mm] R kann zu einem Homomorphismus G [mm] \to [/mm] G' erweitert werden.
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Hallo!
Ich bins mal wieder 
Ich habe den Beweis, der angegeben war, etwas umformuliert ( der ursprüngliche Beweis war auch recht knapp) zu:
Beweis:
Ein beliebiges Element g [mm] \in [/mm] G kann (nicht unbedingt eindeutig) geschrieben werden als g = [mm] x_1 \dotsc x_n [/mm] , wobei alle [mm] x_i \in X^{\pm} [/mm] . Wir setzen zunächst [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] G' nach [mm] \tilde \varphi [/mm] : F (X) [mm] \to [/mm] G' fort und definieren den gewünschte Homomorphismus dann durch die Abbildungsvorschrift g [mm] \mapsto \varphi (x_1) \dotsc \varphi (x_n). [/mm] Dieser Homomorphismus ist geeignet, weil mit [mm] x_1 \dotsc x_n [/mm] = 1 in G dann [mm] \tight \varphi (x_1) \dotsc \tilde \varphi (x_n) [/mm] = 1 in G' gilt. Dies folgt daraus, dass [mm] \tilde (R^{F (X)}) [/mm] = 1 .
Geht das so?
Lg und Danke,
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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