Textaufgabe 2 - Gleichungssys. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:03 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
| Aufgabe | Zwei Touristen gehen einander entgegen, der eine vom Punkt A aus, der andere vom Punkt B. Der erste geht von A aus sechs Stunden später los als der zweite von B. Als sie sich (in einem Punkt C) treffen, hat der erste 12km weniger zurückgelegt als der zweite.
Sie setzen nach der Begegnung den Weg mit einer solchen Geschwindigkeit fort, dass der erste in B nach acht Stunden, der zweite in A nach neun Stunden ankommt (gerechnet vom Punkt C aus). Man berechne die Entfernung [mm] \overline{AB} [/mm] und die Geschwindigkeit eines jeden Touristen. |
Und noch einmal guten Abend liebe Forenmitglieder,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, sie ähnelt meiner zuvor gestellten Frage zwar, gehörte aber nicht zum selben Aufgabenkomplex, daher habe ich einen weiteren Thread gestartet, ich hoffe das ist ok und bitte tausend Mal um Verzeihung sollte dies nicht der Fall sein.
Auch diese Aufgabe gehört zu denen meiner Cousine, nur leider komme ich hier überhaupt nicht voran und bräuchte Ansatzpunkte und Tipps, wie ich am besten an die Lösung dieser Aufgabe heran gehen sollte.
Zu meinen Vorüberlegungen hier gehörten zum einen wieder eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und die Auflistung der gegebenen:
[mm] \overline{AC} [/mm] := a
[mm] \overline{CB} [/mm] := b
und gesuchten Variablen/Werte:
[mm] \overline{AB} [/mm] := s
[mm] v_{1} [/mm]
[mm] v_{2}
[/mm]
Dann habe ich mir die ersten Gleichungen überlegt:
s = a + b
a = b - 12km
v = [mm] \bruch{s}{t}
[/mm]
[mm] v_{b1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{9h}
[/mm]
[mm] v_{a1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{8h}
[/mm]
und da hänge ich nun auch schon fest, denn es sind zu viele Unbekannte bzw. zu wenig Gleichungen um die Unbekannten zu lösen.
(Ich habe schon Überlegungen angestellt, aber ich war mir noch unsicher -> Da [mm] Tourist_{1} [/mm] 6h später losgeht und [mm] Tourist_{2} [/mm] 12km mehr zurücklegt, könnte man darauf schließen, dass [mm] Tourist_{2} [/mm] diese 12km in den 6h schafft, das hieße aber auch, dass beide für den Rest ihrer Strecke bis Punkt C die gleiche Geschwindigkeit haben und das wiederum ist ja nicht (an)gegeben.)
Wie kann ich weiter rechnen? Welchen Zusammenhang habe ich übersehen? Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo noch mal!
> > Sie setzen nach der Begegnung den Weg mit einer solchen Geschwindigkeit fort, dass ...
Für mich klingt es so, als ob die Geschwiendigkeit von einzelnen Touristen vor und nach dem Treffen sich nicht ändert.
lg alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
Auch von mir nochmal hallo adlerbob ^^
erst einmal schon vielen Dank für deine Antwort.
Ich dachte an der Stelle, dass sie nur den Weg fortsetzen, ihre Geschwindigkeit aber verändern.
ok mit gleichbleibender Geschwindigkeit hieße:
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{b1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{9h}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{a1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{8h}
[/mm]
daraus ließe sich folgern, dass
[mm] \bruch{a}{9h} [/mm] = [mm] \bruch{b}{6h + x} \Rightarrow \bruch{a}{9h} [/mm] = [mm] \bruch{a + 12km}{6h + x}
[/mm]
[mm] \bruch{b}{8h} [/mm] = [mm] \bruch{a}{y} \Rightarrow \bruch{a + 12}{8h} [/mm] = [mm] \bruch{a}{y}
[/mm]
mh dann fehlt mir aber immer noch eine Gleichung oder Verbindung, denn ich kann ja nicht einfach davon ausgehen, dass x = y ist, oder?
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doch x=y,
oder glaubst du das andere im Punkt C sich ausgeruht hat?
lg alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
äh nein, sorry ^///^ ... ich denke mal nicht, dass einer der beiden erst noch eine Bierpause eingelegt hat
und nochmal danke für die Hilfe
gut dann kann ich natürlich beides nach x bzw. y umstellen und dann gleichsetzen um a rauszubekommen:
[mm] \bruch{a}{9h} [/mm] = [mm] \bruch{a + 12km}{6h + x} [/mm] |*(6h + x)
[mm] \bruch{a}{9} [/mm] * (6 + x) = a + 12km |*9
a * (6 + x) = (a + 12km) * 9 |/a
6 + x = [mm] \bruch{(a + 12) *9}{a} [/mm] |-6
x = [mm] \bruch{((a + 12) * 9) - (6 * a)}{a}
[/mm]
und
[mm] \bruch{a + 12km}{8h} [/mm] = [mm] \bruch{a}{y} [/mm] |*y
[mm] \bruch{a + 12km}{8} [/mm] * y = a |*8
(a + 12km) * y = 8a |/(a + 12km)
y = [mm] \bruch{8a}{a + 12}
[/mm]
mit x=y
[mm] \bruch{((a + 12) * 9) - 6a}{a} [/mm] = [mm] \bruch{8a}{a + 12} [/mm] |*a
((a + 12) * 9) - 6a = [mm] \bruch{8a}{a + 12} [/mm] * a |*(a + 12)
(((a + 12) * 9) - 6a) * (a + 12) = (8a) * a
(9a + 108 - 6a) * (a + 12) = [mm] 8a^{2}
[/mm]
[mm] 9a^{2} [/mm] + 108a - [mm] 6a^{2} [/mm] - 72a + 1296 + 108a = [mm] 8a^{2} |-8a^{2} [/mm]
[mm] 9a^{2} [/mm] + 108a - [mm] 6a^{2} [/mm] - 72a + 1296 + 108a - [mm] 8a^{2} [/mm] = 0
[mm] -5a^{2} [/mm] + 1440a = 0
a * (-5a + 1440) = 0
-5a + 1440 = 0 |-1440
-5a = -1440 |/(-5)
a = 288
dann ist b = 288 + 12 = 300
dh. s = 288 + 300 = 588
und die Geschwindigkeiten:
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{b1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{9h} [/mm] = [mm] \bruch{288km}{9h} [/mm] = [mm] 32\bruch{km}{h}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{a1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{8h} [/mm] = [mm] \bruch{300km}{8h} [/mm] = [mm] 37,5\bruch{km}{h}
[/mm]
Sofern ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, lautet die Antwort also die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] ist 588km lang, [mm] Tourist_{1} [/mm] hat eine Geschwindigkeit von [mm] 37,5\bruch{km}{h} [/mm] und [mm] Tourist_{2} [/mm] hat eine Geschwindigkeit von [mm] 32\bruch{km}{h}. [/mm]
Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich habe den Rechenweg nicht verfolgt, zweifele aber stark das Ergebnis in seiner Größenordnung an. Welcher Tourist läuft mit satten 37 km pro Stunde?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
Hallo Infinit,
mh stimmt
... finde aber mit den getroffenen Annahmen keine Fehler in der Rechnung
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Teddy87!
Ich habe deine Rechnungen jetzt nicht durchgearbeitet.
Versuche mal Folgendes:
Die beiden treffen sich zu einem bestimmten Zeitpunkt [mm]t_\text{Treff}[/mm].
Der zweite Tourist legt in dieser Zeit den Weg [mm](a+12)\text{km}[/mm] zurück. Für ihn gilt [mm]v_2=\frac{a+12}{t_\text{Treff}}[/mm], bzw. [mm]t_\text{Treff}=\frac{a+12}{v_2}[/mm].
Der erste Tourist legt bis zum Treffen den Weg [mm]a\text{km}[/mm] zurück. Da er 6h kürzer unterwegs ist, gilt für ihn [mm]v_1=\frac{a}{t_\text{Treff}-6}[/mm], bzw. [mm]t_\text{Treff}=\frac{a}{v_1}+6[/mm].
Das heißt also [mm]\frac{a+12}{v_2}=\frac av_1+6[/mm]. Setze jetzt die jeweiligen Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von a ein.
Ich erhalte so das (realistischere) Ergebnis: [mm]v_1=6 \frac{\text{km}}{\text h}[/mm], [mm]v_2=4\frac{\text{km}}{\text h}[/mm] und [mm]\overline{AB}=84\text{km}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
Hallo Fulla,
vielen Dank für die Hilfe, die meisten Überlegungen finden sich auch in meinen Aufzeichnungen, so bin ich zuletzt auch über die Geschwindigkeit und die Zeit des Treffpunktes an das Problem gegangen, nur dass ich nicht davon ausgegangen bin, dass der erste kürzer unterwegs ist, sondern so dass der zweite länger braucht, was letztendlich aber nicht den Unterschied machen sollte oder?
Die Gleichung [mm]\frac{a+12}{v_2}=\frac av_1+6[/mm] und deren Herleitung ist klar, auch die Werte sehen wesentlich realistischer aus als meine, nur leider kann ich den Schritt von der Gleichung zu den Werten nicht nachvollziehen, denn ich weiß ja weder a noch eine der Geschwindigkeiten.
Entschuldigung, normalerweise ist Mathe wirklich mein Ding, aber ich scheine mich sehr gut auf meinem Schlauch positioniert zu haben :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 So 20.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Teddy,
> Hallo Fulla,
>
> vielen Dank für die Hilfe, die meisten Überlegungen
> finden sich auch in meinen Aufzeichnungen, so bin ich
> zuletzt auch über die Geschwindigkeit und die Zeit des
> Treffpunktes an das Problem gegangen, nur dass ich nicht
> davon ausgegangen bin, dass der erste kürzer unterwegs
> ist, sondern so dass der zweite länger braucht, was
> letztendlich aber nicht den Unterschied machen sollte oder?
Nein, ob du beim Einen Zeit bzw. weg dazuzählst oder beim Anderen abziehst sollte keinen Unterschied machen. Die Gleichung sieht dann halt evtl. ein bisschen anders aus.
> Die Gleichung [mm]\frac{a+12}{v_2}=\frac av_1+6[/mm] und deren
> Herleitung ist klar, auch die Werte sehen wesentlich
> realistischer aus als meine, nur leider kann ich den
> Schritt von der Gleichung zu den Werten nicht
> nachvollziehen, denn ich weiß ja weder a noch eine der
> Geschwindigkeiten.
> Entschuldigung, normalerweise ist Mathe wirklich mein
> Ding, aber ich scheine mich sehr gut auf meinem Schlauch
> positioniert zu haben :(
Dann wuchten wir dich mal runter von dem Schlauch...
Ok, zu den Geschwindigkeiten:
Tourist 1 legt im zweiten Abschnitt (nach dem Treffen am Punkt C) den Weg a+12 km in 8h zurück, d.h. [mm]v_1=\frac{a+12}{8}[/mm].
Tourist 2 legt im zweiten Abschnitt a km in 9h zurück, d.h. [mm]v_2=\frac{a}{9}[/mm].
Setze diese Geschwindigkeiten in die obige Gleichung ein. Das erbigt eine quadratische Gleichung in a. Eine der Lösungen ist unsinnig (da negativ), die andere ist a=36 (km). Und damit kannst du alle anderen Größen berechnen.
EDIT: Das alles gilt natürlich nur unter der Annahme, dass die beiden Wanderer vor und nach dem Treffen jeweils dieselbe Geschwindigkeit beibehalten. Das geht meiner Meinung nach nicht aus der Aufgabenstellung hervor, ist notwendig, um die Aufgabe lösen zu können.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 27.10.2013 | | Autor: | Teddy87 |
Hallo Fulla,
danke für den Schubs vom Schlauch, da hätte ich wirklich selbst drauf kommen müssen, derselbe Anstoß wurde mir schließlich schon anfangs gegeben
also wir haben die Gleichung
[mm] \bruch{a + 12}{v_{2}}=\bruch{a}{v_{1}} [/mm] + 6
die sich aus den "Geschwindigkeitsformeln", welche zunächst nach der Zeit des Treffens umgestellt und dann gleichgesetzt wurden, ergibt.
Und die beiden Geschwindigkeiten für die jeweils zweite Teilstrecke des Weges:
[mm] v_{1}=\bruch{a + 12}{8} [/mm]
[mm] v_{2}=\bruch{a}{9}
[/mm]
bei denen wir annehmen, dass sie den Geschwindigkeiten der jeweils ersten Teilstrecke entsprechen!
Damit erhalten wir die Gleichung
[mm] \bruch{a + 12}{\bruch{a}{9}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{\bruch{a + 12}{8}} [/mm] + 6
und können nach der größtmöglichen Vereinfachung:
(a + 12) * [mm] \bruch{9}{a} [/mm] = a * [mm] \bruch{8}{a + 12} [/mm] + 6
(a + 12) * [mm] \bruch{9}{a} [/mm] = [mm] \bruch{8a + 6 * (a + 12)}{a + 12}
[/mm]
(a + 12) * [mm] \bruch{9}{a} [/mm] = [mm] \bruch{8a + 6a + 72)}{a + 12}
[/mm]
(a + 12) * [mm] \bruch{9}{a} [/mm] * (a + 12)= 14a + 72
[mm] (a^{2} [/mm] + 24a + 144) * [mm] \bruch{9}{a} [/mm] = 14a + 72
[mm] (a^{2} [/mm] + 24a + 144) * 9 = (14a + 72) * a
[mm] 9a^{2} [/mm] + 216a + 1296 = [mm] 14a^{2} [/mm] + 72a
[mm] -5a^{2} [/mm] + 144a + 1296 = 0
mit der Lösungsformel a berechnen:
a = [mm] \bruch{-144}{2 * (-5)} \pm \wurzel{(\bruch{-144}{2 * (-5)})^{2} - (\bruch{1296}{(-5)})}
[/mm]
a = [mm] \bruch{-144}{-10} \pm \wurzel{(\bruch{-144}{-10})^{2} - (\bruch{1296}{(-5)})}
[/mm]
a = [mm] \bruch{144}{10} \pm \wurzel{\bruch{20736}{100} + \bruch{1296}{5}}
[/mm]
a = [mm] \bruch{144}{10} \pm \wurzel{\bruch{20736 + 25920}{100}}
[/mm]
a = [mm] \bruch{144}{10} \pm \wurzel{\bruch{46656}{100}}
[/mm]
a = [mm] \bruch{144}{10} \pm \bruch{216}{10}
[/mm]
a = [mm] \bruch{144 + 216}{10} [/mm]
a = [mm] \bruch{360}{10} [/mm] = 36
was wiederum heißt, dass
b = a + 12km = 36km + 12km = 48km
und somit
s = a + b = 36km + 48km = 84km
Nun bloß noch die Werte von a und b für die Geschwindigkeiten nutzen
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{8h} [/mm] = [mm] \bruch{48km}{8h} [/mm] = [mm] 6\bruch{km}{h} [/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{a}{9h} [/mm] = [mm] \bruch{36km}{9h} [/mm] = [mm] 3\bruch{km}{h}
[/mm]
Das Ergebnis lautet also die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] ist 84km lang, [mm] Tourist_{1} [/mm] hat eine Geschwindigkeit von [mm] 6\bruch{km}{h} [/mm] und [mm] Tourist_{2} [/mm] hat eine Geschwindigkeit von [mm] 3\bruch{km}{h}. [/mm]
Das sieht doch schon wesentlich realistischer aus.
Tausend Dank für die Hilfe Fulla!!
Mh in der ersten Rechnung hatte ich zunächst die Geschwindigkeiten der Teilstrecken [mm] (v_{a1} [/mm] = [mm] v_{a2} [/mm] und [mm] v_{b1} [/mm] = [mm] v_{b2}) [/mm] gleichgesetzt, die Formeln dann nach der Zeit des Treffens umgestellt und zuletzt wieder gleichgesetzt ... was doch eigentlich nicht den Unterschied machen sollte oder?
Hab mich sicherlich bei meinen Rechnungen mit den Maßeinheiten etwas verrannt.
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