Textaufgabe < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend!
Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Ein Stahlblock hat die Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes.
Seitenlänge der Grundfläche: 8cm
Seitenlänge der Deckfläche: 4cm
Höhe: 8 cm
Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke PQ mit P(-3,5|9,5|6) und Q(-6|16|8) erzeugt wird, durchbohrt man das Werkstück.
Der Koordinatenursprung liegt im MITTELPUNKT der Grundfläche.
1) Wo liegen Ein- und Austrittspunkt?
2) Wie lang ist der Bohrkanal?
3) Wo wird der Block getroffen, wenn der Laser längs der Strecke PQ mit P(1|9|5) und Q(-1|15|6) erzeugt wird?
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie habe ich nun vorzugehen?
Gruß,
Muellermilch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo
bestimme die Koordinaten der Eckpunkte A bis H
bestimme die Geradengleichung des Laserstrahls
bestimme die Ebenengleichungen vom Pyramidenstumpf
1) bestimme Schnittpunkte der Gerade (vom Laser) und der Ebenen (vom Pyramidenstumpf)
2) bestimme den Abstand der Schnittpunkte aus 1)
3) bestimme neue Geradengleichung des Laserstrahls, wieder Schnittpunkte bestimmen
Steffi
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> Hallo
>
> bestimme die Koordinaten der Eckpunkte A bis H
A(2|-4|0) ; B(2|4|0) ; C(-2|4|0); D(-2|-4|0); E(2|-2|8); F(2|2|8); G(-2|2|8); H(-2|-2|8);
So richtig?
> bestimme die Geradengleichung des Laserstrahls:
P(-3,5|9,5|6) ; Q (-6|16|8)
g:x= [mm] \vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} [/mm] + r [mm] \vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}
[/mm]
So richtig?
> bestimme die Ebenengleichungen vom Pyramidenstumpf
Die Seiten des Pyramidenstumpfes bilden die Ebenen?
Gibt es hier dann 6 Ebengleichungen? Welche Punkte muss ich den jeweils nehmen?
> 1) bestimme Schnittpunkte der Gerade (vom Laser) und der
> Ebenen (vom Pyramidenstumpf)
> 2) bestimme den Abstand der Schnittpunkte aus 1)
> 3) bestimme neue Geradengleichung des Laserstrahls, wieder
> Schnittpunkte bestimmen
>
> Steffi
Gruß,
Muellermilch
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Hallo, deine Punkte passen so nicht
A(-4;4;0)
B(4;4;0)
C(4;-4;0)
D(-4;-4;0)
E(-2;2;8)
F(2;2;8)
G(2;-2;8)
H(-2;-2;8)
der Pyramidenstumpf hat sechs Ebenen, eine Ebene wird bestimmt durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, für die rechte Seitenfläche z.B. B,C,G
beachte bei deinen Schnittpunkten Gerade vom Laser mit Ebenen vom Pyramidenstumpf, ob der jeweilige Schnittpunkt zur Fläche vom Pyramidenstumpf gehört
Steffi
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> Hallo, deine Punkte passen so nicht
>
> A(-4;4;0)
> B(4;4;0)
> C(4;-4;0)
> D(-4;-4;0)
> E(-2;2;8)
> F(2;2;8)
> G(2;-2;8)
> H(-2;-2;8)
>
> der Pyramidenstumpf hat sechs Ebenen, eine Ebene wird
> bestimmt durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden
> liegen, für die rechte Seitenfläche z.B. B,C,G
> beachte bei deinen Schnittpunkten Gerade vom Laser mit
> Ebenen vom Pyramidenstumpf, ob der jeweilige Schnittpunkt
> zur Fläche vom Pyramidenstumpf gehört
ok. Danke :)
Nun habe ich die Ebenengleichung für B,C,G aufgestellt:
E:x= [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] + r* [mm] \vektor{0 \\ -8 \\ 0} +s*\vektor{-2 \\ -6 \\ 8}
[/mm]
Nun muss ich die Geradengleichung für das x der Ebengleichung einsetzen?
[mm] \vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} [/mm] + [mm] r*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] + r* [mm] \vektor{0 \\ -8 \\ 0} +s*\vektor{-2 \\ -6 \\ 8}
[/mm]
..dann die 3 Gleichungssysteme aufstellen und nach r und s auflösen...
> Steffi
Gruß,
Muellermilch
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Hallo, kannst du so machen, verwende aber drei verschiedene Parameter, für die Gerade z.B. t, Steffi
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Hallo!
Stimmen denn die Geradengleichung und die Ebenengleichung denn?
Das Ergebnis stimmt leider bei den Gleichungen nicht mit den tatsächlichen Lösungen überein.
Geradengleichung: P(-3,5|9,5|6) Q(-6|16|8)
g:x= [mm] \vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}
[/mm]
Ebene B (4|4|0) , C(4|-4|0), G(2|-2|8):
E:x= [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} +r*\vektor{0 \\ -8 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{-2 \\ -6 \\ 8}
[/mm]
Gruß,
Muellermilch
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Hallo Muellermilch,
> Hallo!
> Stimmen denn die Geradengleichung und die Ebenengleichung
> denn?
> Das Ergebnis stimmt leider bei den Gleichungen nicht mit
> den tatsächlichen Lösungen überein.
>
> Geradengleichung: P(-3,5|9,5|6) Q(-6|16|8)
>
> g:x= [mm]\vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6}[/mm] + [mm]t*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}[/mm]
>
> Ebene B (4|4|0) , C(4|-4|0), G(2|-2|8):
>
> E:x= [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 0} +r*\vektor{0 \\ -8 \\ 0}[/mm] +
> [mm]s*\vektor{-2 \\ -6 \\ 8}[/mm]
>
Die Geraden- und Ebenengleichung stimmen.
> Gruß,
> Muellermilch
Gruss
MathePower
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> Hallo Muellermilch,
>
> > Hallo!
> > Stimmen denn die Geradengleichung und die
> Ebenengleichung
> > denn?
> > Das Ergebnis stimmt leider bei den Gleichungen nicht
> mit
> > den tatsächlichen Lösungen überein.
> >
> > Geradengleichung: P(-3,5|9,5|6) Q(-6|16|8)
> >
> > g:x= [mm]\vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6}[/mm] + [mm]t*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > Ebene B (4|4|0) , C(4|-4|0), G(2|-2|8):
> >
> > E:x= [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 0} +r*\vektor{0 \\ -8 \\ 0}[/mm] +
> > [mm]s*\vektor{-2 \\ -6 \\ 8}[/mm]
> >
>
>
> Die Geraden- und Ebenengleichung stimmen.
hm. Dann bring ich die Ebengleichung mal in die Normalform:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -8 \\ 0} [/mm] = 0
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -6 \\ 8} [/mm] = 0
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vec{n}
[/mm]
I. -8y=0 -> y=0
II. -2x-6y+8z=0
setze y in II:
-2x+8z=0 |+2x
8z=2x |:2
4=x
x und y in II:
-2*4 + 8z = 0
-8 = 8z
-1=z
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
So richtig?
[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0}]*\vektor{4 \\ 0 \\ -1} [/mm] = 0
Gruß, muellermilch
> > Gruß,
> > Muellermilch
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 27.11.2011 | | Autor: | moody |
Hallo,
> setze y in II:
> -2x+8z=0 |+2x
> 8z=2x |:2
> 4=x
8z : 2 [mm] \not= [/mm] 4
Mach das nochmal und dann stimmen auch die Vorzeichen 
Hattet ihr das Kreuz/Vektorprodukt schon? Damit kriegst du einen Normalenvektor schneller raus.
lg moody
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> Hallo,
hallo :)
> > setze y in II:
> > -2x+8z=0 |+2x
> > 8z=2x |:2
> > 4=x
> 8z : 2 [mm]\not=[/mm] 4
upsi. 4z=x
nun x und y in II :
-2*4z -6*0+8z=0
-8z + 8z =0
0 = 0
???
Jetzt stimmt etwas nicht.
> Mach das nochmal und dann stimmen auch die Vorzeichen
>
> Hattet ihr das Kreuz/Vektorprodukt schon? Damit kriegst du
> einen Normalenvektor schneller raus.
Hatten wir leider nich nicht.
> lg moody
gruß,
muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo,
> hallo :)
> > > setze y in II:
> > > -2x+8z=0 |+2x
> > > 8z=2x |:2
> > > 4=x
> > 8z : 2 [mm]\not=[/mm] 4
> upsi. 4z=x
So ist es. Du suchst nun irgendeinen Vektor, für den gilt y=0 und 4z=x.
Es gibt nicht nur einen Normalenvektor.
>
> nun x und y in II :
> -2*4z -6*0+8z=0
> -8z + 8z =0
> 0 = 0
> ???
> Jetzt stimmt etwas nicht.
Es gibt keine konkrete Lösung des Gleichungssystems.
>
>
> > Mach das nochmal und dann stimmen auch die Vorzeichen
> >
> > Hattet ihr das Kreuz/Vektorprodukt schon? Damit kriegst du
> > einen Normalenvektor schneller raus.
> Hatten wir leider nich nicht.
Schade, damit bekommst du eleganter eine Normalenvektor.
> > lg moody
> gruß,
> muellermilch
>
Marius
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> > > Hallo,
> > hallo :)
> > > > setze y in II:
> > > > -2x+8z=0 |+2x
> > > > 8z=2x |:2
> > > > 4=x
> > > 8z : 2 [mm]\not=[/mm] 4
> > upsi. 4z=x
>
>
> So ist es. Du suchst nun irgendeinen Vektor, für den gilt
> y=0 und 4z=x.
>
> Es gibt nicht nur einen Normalenvektor.
Kann ich denn für z einfach 1 nehmen?
y= 0 ; z=1 -> x=4 ?
Und es kommt dann auch bei mehreren Normalenvektoren der gleiche Schnittpunkt raus?!
> > nun x und y in II :
> > -2*4z -6*0+8z=0
> > -8z + 8z =0
> > 0 = 0
> > ???
> > Jetzt stimmt etwas nicht.
>
> Es gibt keine konkrete Lösung des Gleichungssystems.
>
> >
> >
> > > Mach das nochmal und dann stimmen auch die Vorzeichen
> > >
> > > Hattet ihr das Kreuz/Vektorprodukt schon? Damit kriegst du
> > > einen Normalenvektor schneller raus.
> > Hatten wir leider nich nicht.
>
> Schade, damit bekommst du eleganter eine Normalenvektor.
>
> > > lg moody
> > gruß,
> > muellermilch
> >
>
> Marius
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > > > Hallo,
> > > hallo :)
> > > > > setze y in II:
> > > > > -2x+8z=0 |+2x
> > > > > 8z=2x |:2
> > > > > 4=x
> > > > 8z : 2 [mm]\not=[/mm] 4
> > > upsi. 4z=x
> >
> >
> > So ist es. Du suchst nun irgendeinen Vektor, für den gilt
> > y=0 und 4z=x.
> >
> > Es gibt nicht nur einen Normalenvektor.
> Kann ich denn für z einfach 1 nehmen?
> y= 0 ; z=1 -> x=4 ?
Zm Beispiel.
>
> Und es kommt dann auch bei mehreren Normalenvektoren der
> gleiche Schnittpunkt raus?!
Ja, bei einem Normalenvektor ist ja nur die Richtung wichtig.
Marius
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> > >
> > > > > Hallo,
> > > > hallo :)
> > > > > > setze y in II:
> > > > > > -2x+8z=0 |+2x
> > > > > > 8z=2x |:2
> > > > > > 4=x
> > > > > 8z : 2 [mm]\not=[/mm] 4
> > > > upsi. 4z=x
> > >
> > >
> > > So ist es. Du suchst nun irgendeinen Vektor, für den gilt
> > > y=0 und 4z=x.
> > >
> > > Es gibt nicht nur einen Normalenvektor.
> > Kann ich denn für z einfach 1 nehmen?
> > y= 0 ; z=1 -> x=4 ?
>
> Zm Beispiel.
>
> >
> > Und es kommt dann auch bei mehreren Normalenvektoren der
> > gleiche Schnittpunkt raus?!
>
> Ja, bei einem Normalenvektor ist ja nur die Richtung
> wichtig.
ok. bei der Weiterrechnung bekomme ich einen anderen Schnittpunkt (4|-10|0) raus. Es soll aber (-1|3|4) sein.
Die Rechnung ist 100% richtig, da ich es mit Überprüfung und auf zweierlei Wege berechnet habe.
Stimmen die abgelesenen Punkte etwa nicht?
> Marius
>
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 27.11.2011 | | Autor: | moody |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die grünen Vektoren stehen alle 90° auf der Ebene, damit sind sie Normalenvektoren der Ebene, aber du siehst ja dass sie durchaus unterschiedliche Koordinaten haben.
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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jaa stimmt!
Vielen Dank für die Skizze!
Gruß,
Muellermilch
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> Hallo, deine Punkte passen so nicht
>
> A(-4;4;0)
> B(4;4;0)
> C(4;-4;0)
> D(-4;-4;0)
> E(-2;2;8)
> F(2;2;8)
> G(2;-2;8)
> H(-2;-2;8)
Müsste A nicht (4|-4|0) und C(-4|4|0) lauten und E(2|-2|8), G(-2|2|8)?
> der Pyramidenstumpf hat sechs Ebenen, eine Ebene wird
> bestimmt durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden
> liegen, für die rechte Seitenfläche z.B. B,C,G
> beachte bei deinen Schnittpunkten Gerade vom Laser mit
> Ebenen vom Pyramidenstumpf, ob der jeweilige Schnittpunkt
> zur Fläche vom Pyramidenstumpf gehört
>
> Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 27.11.2011 | | Autor: | moody |
> Müsste A nicht (4|-4|0) und C(-4|4|0) lauten und
> E(2|-2|8), G(-2|2|8)?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ich schalte die andere frage dann erstmal nicht mehr aktiv wenn du mit falschen punkten gerechnet hast.
lg
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 So 27.11.2011 | | Autor: | Muellermilch |
> > Müsste A nicht (4|-4|0) und C(-4|4|0) lauten und
> > E(2|-2|8), G(-2|2|8)?
> ich schalte die andere frage dann erstmal nicht mehr
> aktiv wenn du mit falschen punkten gerechnet hast.
>
> lg
ich kriege trotzdem beim Lösen einen anderen Schnittpunkt raus.
Das r müsste -1 sein. Ich kriege jedoch 0,5 für das r raus.
(Ebene B,C,G)
gruß,
muellermilch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 27.11.2011 | | Autor: | moody |
Hättest du vielleicht auch eine Rechnung dazu?
lg
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E:x= [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-8 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{-6 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{-8 \\ 0 \\ 0}= [/mm] 0
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} *\vektor{-6 \\ -2 \\ 8}=0
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vec{n}
[/mm]
I. -8x=0 -> x=0
II. -6x-2y+8z=0
-> -2y+8z=0
8z= 2y
4z=y
z= 1 -> y=4
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0}]*\vektor{0 \\ 4 \\ 1}=0
[/mm]
g:x= [mm] \vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} +r*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}
[/mm]
->
[ [mm] \vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} +r*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0}]*\vektor{0 \\ 4 \\ 1}=0
[/mm]
[mm] \vektor{-7,5-2,5r \\ 2+6,5r \\ 6+2r} *\vektor{0 \\ 4 \\ 1} [/mm]
=> r=-0,5
gruß,
muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 27.11.2011 | | Autor: | moody |
> [ [mm]\vektor{-3,5 \\ 9,5 \\ 6} +r*\vektor{-2,5 \\ 6,5 \\ 2}[/mm] -
> [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 0}]*\vektor{0 \\ 4 \\ 1}=0[/mm]
Kann es sein dass du einmal 9,5 - 6,5 statt -4 gerechnet hast?
lg
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> Hallo
>
> bestimme die Koordinaten der Eckpunkte A bis H
> bestimme die Geradengleichung des Laserstrahls
> bestimme die Ebenengleichungen vom Pyramidenstumpf
>
> 1) bestimme Schnittpunkte der Gerade (vom Laser) und der
> Ebenen (vom Pyramidenstumpf)
> 2) bestimme den Abstand der Schnittpunkte aus 1)
> 3) bestimme neue Geradengleichung des Laserstrahls, wieder
> Schnittpunkte bestimmen
Hallo,
Woher weiß ich denn welche Ebenen ich bei 3) auf Schnittpunkt Untersuchung verwenden soll?
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Di 29.11.2011 | | Autor: | moody |
> Woher weiß ich denn welche Ebenen ich bei 3) auf
> Schnittpunkt Untersuchung verwenden soll?
Ich würd sie einfach mal zeichnen und gucken ob das dann klar wird, anders könnte ich mir das jetzt vorstellen. Alternativ kannst du auch einfach mal testen, aber der Rechenaufwand lohnt ja nicht wenn du vorher schon gucken kannst welche das wohl sein werden.
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