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| Aufgabe | Ein Hund schwimmt von einem Ufer eines Flusses zu seinem Herrn, der senkrecht gegenüber auf dem anderen Ufer steht; er schwimmt so, dass seine Schnauze stets auf seinen Herrn gerichtet ist. Welchen Differentialgleichungen genügen die
Koordinaten x(t), y(t) des jeweiligen Ortes des Hundes? Man bilde die Differentialgleichung seiner Bahnkurve y = y(x), untersuche die
Lösungen dieser Differentialgleichung und berechne die Zeit, die der Hund zum Überqueren des Flusses braucht.
Hinweis: Die konstante Geschwindigkeit des Hundes sei v, das Wasser ströme mit der Geschwindigkeit c, die Breite des Flusses sei a. |
Hallo zusammen,
Bei dieser Aufgabe hab ich so einige Probleme...
Ich hab mir schon mehrere Skizzen gemacht. Am erfolgsversprechenden sah die Skizze aus, bei der man dan Fluss parallel zur Abszisse und den Hund im Ursprung platziert hat.
Jetzt hänge ich irgendwie dabei, diese Bahnkurve zu bestimmen. Ich habe v und c als zwei überlagernde konstante Geschwindigkeiten, das Problem daran ist, dass (bis auf das erste mal) diese nicht senkrecht auseinander stehen (als Vektoren betrachtet) sondern ein größere Winkel $90° + [mm] \alpha$, [/mm] und alpha eben der winkel ist, um den sich der bereits abgetriebene Hund drehen muss, um wieder zu seinem Herrchen zu sehen.
Wie kann ich denn diesen Winkel in die Gleichung mit einbeziehen. Ich habe schon an Sinus oder Cosinus gedacht, aber einfach [mm] $v*cos\alpha$ [/mm] reicht nicht aus, denn dann "vergisst" die Gleichung doch alle bisherigen Drehungen vom Hund, oder?
Danke im Voraus!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab mir das mal wie folgt überlegt.
x-Achse parallel zur Geschwindigkeit des Flusses und die y-Achse senkrecht dazu. Startpunkt des Hundes ist in (0,0) und Zielpunkt ist (0,a). Der Fluss fließt in positiver x-Richtung.
Der Hund befinde sich im Punkt (x,y). Da er immer auf den Punkt (0,a) schaut gilt:
[mm] v_x(t)=c-v*cos(\alpha(t)) [/mm] und
[mm] v_y(t)=v*sin(\alpha(t))
[/mm]
[mm] sin(\alpha(t))=\bruch{a-y(t)}{\wurzel{x(t)^2+(a-y(t))^2}} [/mm] und
[mm] cos(\alpha(t))=\bruch{x(t)}{\wurzel{x(t)^2+(a-y(t))^2}} [/mm] also
[mm] \dot{x(t)}=c-v*\bruch{x(t)}{\wurzel{x(t)^2+(a-y(t))^2}} [/mm] mit x(0)=0
[mm] \dot{y(t)}=v*\bruch{a-y(t)}{\wurzel{x(t)^2+(a-y(t))^2}} [/mm] und y(0)=0
das sind die Differentialgleichungen für x(t) und y(t).
y'(x) kann man aus [mm] \bruch{\dot{y(t)}}{\dot{x(t)}} [/mm] berechnen.
mfg ullim
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Guten Abend,
ich kann der "Herleitung" iwie nicht folgen.
Ich habe folgendes:
Die Bewegung des Hundes ist ja eine Überlagerung von 2 Bewegungen,
die eine, in x-Richtung (Skizze wie im vorheriegen Post beschrieben) die konstante Bewegung $x(t) = c*t$, aber in y-Richtung wirds ein wenig kniffliger.
Ich habe mir überlegt, das die Funktion ja eine lineare Funktion beschreibt, mit Anstieg [mm] $tan(\alpha)$, [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] ist der Winkel der zwischen der Bewegung des Hundes und der Ordinate.
Aber dann habe ich:
$y(t)=at$, und [mm] $a=tan(\alpha)=\bruch{a-y(t)}{c*t}$, [/mm] aber hier würde sich das t kürzen, und insgesammt kann das nicht alles stimmen...
Wie mache ich denn richtig weiter?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Di 05.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
vielleicht nochmal zur Veranschaulichung wie die Bahn des Hundes verläuft. Am Anfang schwimmt er direkt auf sein Herrn zu, d.h.
[mm] v_{xHund}(0)=0 [/mm] und [mm] v_{yHund}(0)=v
[/mm]
Allerdings wird er schon nach kurzer Zeit nach rechts durch die Flussgeschwindigkeit abgetrieben.
Die resultierende Geschwindigkeit ist damit
[mm] v_x(0)=c [/mm] und [mm] v_y=v
[/mm]
Jetzt korrigiert der Hund seine Richtung und schwimmt wieder direkt auf seinen Herrn zu. D.h. er schwimmt dem Fluss entgegen, hat also eine negative x-Geschwindigkeit, wird aber immer noch nach rechts abgetrieben. Die y-Geschwindigkeit des Hundes ergibt sich aus der konstanten Geschwindigkeit [mm] v_{Hund} [/mm] und [mm] v_{xHund} [/mm] zu
(1) [mm] v_{yHund}=\wurzel{v_{Hund}^2-v_{xHund}^2}
[/mm]
Also muss ich mich nur noch um [mm] v_{xHund} [/mm] kümmern. Befindet sich der Hund auf irgendeinem Punkt auf seiner Bahn, z.B. im Punkt (x,y), dann ist seine Schwimmrichtung immer direkt auf seinen Herr ausgerichtet. Er bewegt sich also auf einer Geraden durch den Punkt (x,y) mit der Geschwindigkeit [mm] v_{Hund} [/mm] direkt auf seinen Herrn zu.
Man hat also ein rechtwinkliges Dreieck durch den Punkt (x,y) und den Standort seines Herren (0,a). Die x-Geschwindigkeit des Hundes berechnte sich also als Projektion der Geschwindigkeit [mm] v_{Hund} [/mm] entlang der Geraden durch (x,y) und (0,a) auf die x-Achse. Die Projektion ist
[mm] v_{xHund}=v_{Hund}*cos(\alpha) [/mm] und mit der Formel (1) ergibt sich [mm] v_{yHund} [/mm] zu
[mm] v_{yHund}=v_{Hund}*sin(\alpha)
[/mm]
Jetzt muss man also nur noch [mm] cos(\alpha) [/mm] berechnen und das ist
[mm] cos(\alpha)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+(a-y)^2}}
[/mm]
Jetzt berücksichtige ich noch die Flussgeschwindigkeit c die der Geschwindigkeit [mm] v_{xHund} [/mm] entgegen wirkt und ich komme zu der resultierenden Geschwindigkeit die ich im ersten Post geschrieben habe.
Ich hoffe es hat Dir etwas geholfen.
Als Anlage lage ich Dir noch eine Datei bei, die das ganze noch ein bisschen illustieren soll.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Hundekurve
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: avi) [nicht öffentlich]
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Danke für die viele Mühe, es hat mir sehr geholfen!
lg Kai
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