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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 12.10.2004 | | Autor: | sv_t |
Hallo,
Warum ist [mm] \bruch{-ab^2 + ab + a^3}{a^2b + b^2 - b^3} = \bruch{a}{b} [/mm] ?
Ausgeschrieben ist der Term doch: [mm] \bruch{-a * -b * -b + a * b + a * a * a}{-b * -b * -b + a * a * b + b * b} [/mm]
Kann ich in Zähler/Nenner einfach wegkürzen?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß Sven.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Di 12.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sven
> Hallo,
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> Warum ist [mm]\bruch{-ab^2 + ab + a^3}{a^2b + b^2 - b^3} = \bruch{a}{b}[/mm]
> ?
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> Ausgeschrieben ist der Term doch: [mm]\bruch{-a * -b * -b + a * b + a * a * a}{-b * -b * -b + a * a * b + b * b}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, das ist nicht ganz so.
[mm] $-ab^{2}$ [/mm] bedutet $-a*b*b$ Das Minus gehört nur zum $a$, das $b$ ist schon wieder positiv.
Merke: $xy$ ist eine Abkürzung für$x*y$
Somit ist [mm] $-ab^{2}$ [/mm] eine Abkürzung für [mm] $-a*b^{2}$
[/mm]
Weil [mm] $b^{2}$ [/mm] selber auch nur eine Abkürzung für $b*b$ ist, gilt also:
[mm] $-ab^{2}=-a*b^{2}=-a*b*b$
[/mm]
Dann gilt da doch die Regel: ein Bruch wird gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividiert (teilt).
Man könnte zum Beispiel das hier kürzen:
[mm] $\bruch{ab}{ac}$
[/mm]
indem man oben und unten durch $a$ dividiert und erhält sofort:
[mm] $\bruch{ab}{ac}=\bruch{ab/a}{ac/a}=\bruch{b}{c}$
[/mm]
So rein technisch gesehen, lassen sich also gleiche Fakatoren oben und unten einfach wegstreichen, genauer erstmal: durch den Faktor $1$ ersetzen.
Damit man das aber auch wirklich tun darf, müssen im Zähler und im Nenner aber auch reine Faktoren stehen, also keine Summen, wo dann nicht etwa ein Summand weggestrichen werden kann.
Das hier wäre also falsch:
[mm] $\bruch{a+b}{a+c}=\bruch{b}{c}$
[/mm]
Wenn im Zähler und Nenner eine reine Summe steht, dann muss man, will man etwas wegkürzen, zuerst die Summe geschickt in ein Produkt verwandeln! Das geschieht meistens durch Ausklammern oder durch Anwendung einer binomischen Formel.
Als ganz einfaches Beispiel vielleicht:
[mm] $\bruch{a+b}{a+b}=\bruch{1*(a+b)}{1*(a+b)}$
[/mm]
Jetzt habe ich im Zähler und im Nenner jeweils Faktoren, und $(a+b)$ erscheint oben und unten als Faktor, lässt sich also "wegstreichen":
[mm] $\bruch{1*(a+b)}{1*(a+b)}=\bruch{1}{1}=1$ [/mm] 
Ich rechne dein Beispiel also einfach mal vor und erkläre jeden Schritt:
[mm] $\bruch{-ab^2+ab+a^3}{a^2b+b^2-b^3}$
[/mm]
Schauen wir zuerst den Zähler an. Da fällt auf, dass in jedem einzelnen Summanden ein $a$ vorkommt. Das müsste sich also ausklammern lassen:
[mm] $\bruch{-ab^2+ab+a^3}{a^2b+b^2-b^3}=\bruch{a(-b^2+b+a^2)}{a^2b+b^2-b^3}$
[/mm]
Wie sieht es mit dem Nenner aus?
Ich denke, da liesse sich ein $b$ ausklammern:
[mm] $\bruch{a(-b^2+b+a^2)}{a^2b+b^2-b^3}=\bruch{a(-b^2+b+a^2)}{b(a^2+b-b^2)}$
[/mm]
Im Zähler und im Nenner sehen sich die Ausdrücke in den Klammern verdächtig ahnlich!
Oh ja, man kann ja die Summanden beliebig vertauschen! Also:
[mm] $\bruch{a(-b^2+b+a^2)}{b(a^2+b-b^2)}=\bruch{a(a^2+b-b^2)}{b(a^2+b-b^2)}$
[/mm]
Schau, in den Klammern steht jetzt wirklich das Gleiche!
Und die Klammerausdrücke bedeuten ja, eben weil sie in Klammern stehen, dass sie als Ganzes, als eine Zahl, als ein Faktor betrachtet werden dürfen, ja sogar müssen!
Also etwa so:
[mm] $\bruch{aA}{bA}$
[/mm]
wobei ich einfach für [mm] $(a^2+b-b^2)$ [/mm] den Buchstaben $A$ eingesetzt habe.
Und man kann jetzt ja kürzen:
[mm] $\bruch{aA}{bA}=\bruch{a}{b}$
[/mm]
Also auch entsprechend:
[mm] $\bruch{a(a^2+b-b^2)}{b(a^2+b-b^2)}=\bruch{a}{b}$
[/mm]
Ich hoffe, durch diesen kleinen Exkurs sei dir einiges klarer geworden, so dass du die restlichen Aufgaben als nicht mehr so schwierig empfindest! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 14.10.2004 | | Autor: | sv_t |
Prima, vielen Dank.
Dank Deiner ausführlichen Erklärung habe ich das jetzt auch kapiert (glaube ich ).
Gruß Sven.
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