Tensorprodukt Z-Modul mit Q < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:52 Do 25.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei M [mm] $\IZ$-Modul. [/mm] Zeigen Sie: $M [mm] \otimes_{\IZ} \IQ$ [/mm] ist torsionsfrei. |
Hallo,
ich denke (hoffe) ich habe die Aufgabe verstanden, aber denke man kann das noch sauberer aufschreiben als ich im folgenden:
Ang. $m [mm] \in [/mm] M$ Torsionselement, d.h. [mm] $\exists [/mm] r [mm] \in \IZ: [/mm] rm = 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] mit $q = [mm] \frac{s}{t} \in \IQ$ [/mm] beliebig gilt: $m [mm] \otimes [/mm] q = m [mm] \otimes \frac{s}{t} =m\otimes \frac{rs}{rt} [/mm] = [mm] r\left(m \otimes \frac{s}{rt}\right) [/mm] = (rm) [mm] \otimes \frac{s}{rt} [/mm] = 0 [mm] \otimes \frac{s}{rt} [/mm] = 0$
Also ist für $m$ aus dem Torsionsuntermodul von M $m [mm] \otimes [/mm] q$ bereits 0 für alle $q [mm] \in \IQ$, [/mm] d.h. insbesondere kein Torsionselement in $M [mm] \otimes \IQ$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $\IQ$ [/mm] als [mm] $\IZ$-Modul [/mm] torsionsfrei (klar).
Nun die etwas schwammige Stelle:
Für $m [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash M^{tor}, [/mm] q [mm] \in \IQ$ [/mm] und $0 [mm] \not= [/mm] m [mm] \otimes [/mm] q$ sind m und q keine Torsionselemente jeweils in M bzw. [mm] $\IQ \Rightarrow$ [/mm] es gibt kein $s [mm] \in \IZ: [/mm] s(m [mm] \otimes [/mm] q) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \otimes [/mm] q$ kein Torsionselement [mm] $\Rightarrow [/mm] M [mm] \otimes_{\IZ} \IQ$ [/mm] torsionsfrei.
Geht das noch klarer? Stimmt es überhaupt?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei M [mm]\IZ[/mm]-Modul. Zeigen Sie: [mm]M \otimes_{\IZ} \IQ[/mm] ist
> torsionsfrei.
Die elegante Art das zu zeigen: da [mm] $\IQ$ [/mm] ein Erweiterungsring von [mm] $\IZ$ [/mm] ist, ist $M [mm] \otimes_\IZ \IQ$ [/mm] auf natuerliche Art und Weise ein [mm] $\IQ$-Modul. [/mm] Ein [mm] $\IQ$-Modul [/mm] ist allerdings ein [mm] $\IQ$-Vektorraum, [/mm] und solche sind immer torsionsfrei (sie sind sogar frei).
> ich denke (hoffe) ich habe die Aufgabe verstanden, aber
> denke man kann das noch sauberer aufschreiben als ich im
> folgenden:
>
> Ang. [mm]m \in M[/mm] Torsionselement, d.h. [mm]\exists r \in \IZ: rm = 0[/mm]
Und $r [mm] \neq [/mm] 0$ 
> [mm]\Rightarrow[/mm] mit [mm]q = \frac{s}{t} \in \IQ[/mm] beliebig gilt: [mm]m \otimes q = m \otimes \frac{s}{t} =m\otimes \frac{rs}{rt} = r\left(m \otimes \frac{s}{rt}\right) = (rm) \otimes \frac{s}{rt} = 0 \otimes \frac{s}{rt} = 0[/mm]
>
> Also ist für [mm]m[/mm] aus dem Torsionsuntermodul von M [mm]m \otimes q[/mm]
> bereits 0 für alle [mm]q \in \IQ[/mm], d.h. insbesondere kein
> Torsionselement in [mm]M \otimes \IQ[/mm]
> Außerdem ist [mm]\IQ[/mm] als
> [mm]\IZ[/mm]-Modul torsionsfrei (klar).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun die etwas schwammige Stelle:
> Für [mm]m \in M \backslash M^{tor}, q \in \IQ[/mm] und [mm]0 \not= m \otimes q[/mm]
> sind m und q keine Torsionselemente jeweils in M bzw. [mm]\IQ \Rightarrow[/mm]
> es gibt kein [mm]s \in \IZ: s(m \otimes q) = 0 \Rightarrow m \otimes q[/mm]
> kein Torsionselement [mm]\Rightarrow M \otimes_{\IZ} \IQ[/mm]
> torsionsfrei.
Damit hast du nur gezeigt, dass eine Teilmenge von $M [mm] \otimes_\IZ \IQ$ [/mm] kein Torsionselement enthaelt.
Mach es doch allgemeiner 
Also zeige zuerst, dass $M [mm] \otimes_\IZ \IQ$ [/mm] durch [mm] $\lambda \sum_{i=1}^n m_i \otimes q_i [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n m_i \otimes (\lambda q_i)$ [/mm] eine [mm] $\IQ$-Modul-Struktur [/mm] bekommt, und dann nimmst du ein Torsionselement $x$ mit $r [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit $r x = 0$, multiplizierst es mit $1 = [mm] \frac{1}{r} \cdot [/mm] r$ und siehst, dass $x = 0$ sein muss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
erstmal danke für deine Antwort.
Ich habe deinen Ansatz verstanden und sehe auch, dass er deutlich eleganter ist. Was ich allerdings noch nicht verstehe ist, warum ich bei meiner Ausführung einen Teil des Moduls $M [mm] \otimes_{\IZ} \IQ$ [/mm] außen vor lasse. Du hast ja geschrieben, dass ich die Behauptung nur für eine Teilmenge gezeigt habe.
Hat es etwas damit zu tun, dass die Elemente aus $M [mm] \otimes_{\IZ} \IQ$ [/mm] nicht nur von der Form $m [mm] \otimes [/mm] q$ sind, sondern Summen von solchen Ausdrücken?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> erstmal danke für deine Antwort.
> Ich habe deinen Ansatz verstanden und sehe auch, dass er
> deutlich eleganter ist. Was ich allerdings noch nicht
> verstehe ist, warum ich bei meiner Ausführung einen Teil
> des Moduls [mm]M \otimes_{\IZ} \IQ[/mm] außen vor lasse. Du hast ja
> geschrieben, dass ich die Behauptung nur für eine
> Teilmenge gezeigt habe.
> Hat es etwas damit zu tun, dass die Elemente aus [mm]M \otimes_{\IZ} \IQ[/mm]
> nicht nur von der Form [mm]m \otimes q[/mm] sind, sondern Summen von
> solchen Ausdrücken?
Ja, genau das meine ich. Du musst Summen von solchen Ausdruecken betrachten.
LG Felix
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