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| Aufgabe | Wert der Reihe:
[mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m} [/mm] - [mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m} [/mm] |
Mein Problem ist es die Summen so anzugleichen, sodass beide den gleichen Index haben.
Das ist ja das Ziel bei der Teleskopsumme, damit ich überhaupt sagen kann welche Summanden übrig bleiben.
Kann mir da jemand helfen ?
Mfg. Hellsing :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hellsing!
Schreibe Dir die einzelnen Glieder beider Reihen auf. Dann solltest Du sehen, was sich alles eliminiert und was verbleibt.
Gruß
Loddar
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> Hallo Hellsing!
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> Schreibe Dir die einzelnen Glieder beider Reihen auf. Dann
> solltest Du sehen, was sich alles eliminiert und was
> verbleibt.
>
> Gruß
> Loddar
Mh ja das habe ich mal getan, allerdings erhalte ich dann ja
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}...+\bruch{1}{N} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2m+1}+\bruch{1}{2m+2}+\bruch{1}{2m+3}+...+\bruch{1}{2m+N})
[/mm]
Der Faktor ist also von dem jeweiligen m abhängig, deswegen weiss ich nicht genau was alles wegfällt :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 10.12.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Mh ja das habe ich mal getan, allerdings erhalte ich dann
> ja
>
> [mm]1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}...+\bruch{1}{N}[/mm] - [mm](\bruch{1}{2m+1}+\bruch{1}{2m+2}+\bruch{1}{2m+3}+...+\bruch{1}{2m+N})[/mm]
>
> Der Faktor ist also von dem jeweiligen m abhängig,
> deswegen weiss ich nicht genau was alles wegfällt :/
was passiert beispielsweise für m=0, m=1 und m=2? Fällt dir was auf?
Gruß
barsch
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Okay. Also für m=0 fallen alle Summanden weg.
Für m=1 bleiben nur die ersten beiden.
Für m=2 bleiben die ersten 4.
Für m=3 bleiben die ersten 6
Also bleiben immer [mm] 2^m [/mm] Summanden übrig da m aus den Natürlichen Zahlen ist.
Also gilt,
[mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m} [/mm] - [mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m} (\bruch{1}{2})^k[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.m=3 die ersten 6 das ist richtig aber doch ungleich [mm] 2^3=8
[/mm]
und wieso in der Summe [mm] 1/2^k [/mm] da kommen doch keine potenzen von 2 vor.
dein Anfang ist richtig, jetzt solltest du das aber, wenn du statt [mm] 2^m [/mm] die richtige anzahl von Summanden hast auch noch zeigen!
Gruss leduart
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> Hallo
> 1.m=3 die ersten 6 das ist richtig aber doch ungleich
> [mm]2^3=8[/mm]
> und wieso in der Summe [mm]1/2^k[/mm] da kommen doch keine potenzen
> von 2 vor.
> dein Anfang ist richtig, jetzt solltest du das aber, wenn
> du statt [mm]2^m[/mm] die richtige anzahl von Summanden hast auch
> noch zeigen!
> Gruss leduart
Hab auch grade gesehen das es quatsch ist.
Richtig wäre:
[mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m} [/mm] - [mm] \summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}
[/mm]
Mit dem Term erhält man dann, das Ergebniss der Teleskopsumme.
Wirklich weiter berechnen kann ich das doch nicht oder ?
Immerhin ist das ergebnis je nach Wahl von m unterschiedlich.
Mfg. Hellsing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch mal wie kommst du auf die [mm] 2^m [/mm] die schon bei m=3 falsch sind?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Ah zweimal den selben fehler gemacht. Ich meinte 2m nicht [mm] 2^m
[/mm]
Also die [mm] \summe_{k=1}^{2m}\bruch{1}{k}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wert der Reihe:
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> [mm]\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m}[/mm] - [mm]\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m}[/mm]
das ist keine Reihe, sondern das ist eine Summe, deren Wert wohl i.a. von
[mm] $m\,$ [/mm] und [mm] $N\,$ [/mm] abhängt (d.h. abhängen dürfen wird).
Und es gilt (Indexshift: [mm] $\ell=k-m\,$ [/mm] und [mm] $n=k+m\,$)
[/mm]
[mm] $$\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m} -\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m}=\sum_{\ell=1}^{N-m}\frac{1}{\ell}-\sum_{n=2m+1}^{N+m}\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Mir ist bis dato noch nicht so ganz klar, auf was man bei der Aufgabe
hinaus will... Man könnte ja auch rechnen:
[mm] $$\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k-m} -\summe_{k=m+1}^{N} \bruch{1}{k+m}=\sum_{k=m+1}^N \frac{k+m-(k-m)}{k^2-m^2}=2m*\sum_{k=m+1}^N \frac{1}{k^2-m^2}$$
[/mm]
und erst dann vielleicht über einen Indexshift nachdenken:
[mm] $$=2m*\sum_{\ell=1}^{N-m} \frac{1}{\ell^2}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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