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Hallo,
Sei X ein topologischer Raum und U [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge mit der induzierten Topologie.
Wenn Ich nun eine offene Menge T in U, T=U [mm] \cap [/mm] V gegeben habe mit V [mm] \subset [/mm] X.
Folgt dann daraus, dass V offen in X sein muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X ein topologischer Raum und U [mm]\subset[/mm] X eine Teilmenge
> mit der induzierten Topologie.
> Wenn Ich nun eine offene Menge T in U, T=U [mm]\cap[/mm] V gegeben
> habe mit V [mm]\subset[/mm] X.
>
> Folgt dann daraus, dass V offen in X sein muss?
Nein. Es bedeutet nur, dass du $V$ so waehlen kannst, dass es offen ist.
Aber nicht jede moegliche Wahl von $V$ ist auch wirklich offen.
Zum Beispiel: sei $X$ ein topologischer Raum und $U$ eine nicht offene Teilmenge. Dann ist $U$ in $U$ offen, jedoch $U = U [mm] \cap [/mm] U$ und $U$ ist nicht offen in $X$.
LG Felix
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe!
Nun habe ich danach gefragt, weil ich eigentlich eine Aufgabe lösen möchte, aber ich weis nicht so recht, was das richtige Argument ist:
Beh:
Seien M,N Mannigfaltigkeiten. Und sei g:N->M eine injektive glatte Immsersion, dann gilt:
g ist eine Einbettung <=> [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N [mm] \exists U_n \subset [/mm] N, s.d. [mm] g_{|U_n} [/mm] ist eine Einbettung.
Bew:
"=>" ist klar.
"<="
Damit g Einbettung ist, müssen wir zeigen dass g:N->g(N) homöomorph ist.
g ist sicher bijektiv. Aber die Stetigkeit von g macht mir bisschen sorgen.
Mein Argument war folgendes:
Sei V [mm] \cap [/mm] g(N) offen in g(N) mit V offen in M.
[mm] =>g^{-1}(V \cap g(N))=g^{-1}(V \cap g(\bigcup U_n))=\bigcup g^{-1}(V \cap g(U_n))
[/mm]
Nun wissen wir nach vor., dass [mm] g^{-1}(V \cap g(U_n))=g^{-1}(V) \cap U_n [/mm] offen in [mm] U_n [/mm] ist
Nun haben wir festgestellt, dass daraus nicht folgt, dass [mm] g^{-1}(V) [/mm] offen in M ist.
Aber wir haben auch festgestellt, dass wir zu jedem [mm] g^{-1}(V) \cap U_n
[/mm]
eine offene Teilmenge [mm] W_n \subset [/mm] N finden, s.d.
[mm] g^{-1}(V) \cap U_n [/mm] = [mm] U_n \cap W_n
[/mm]
[mm] =>g^{-1}(V \cap g(N))=\bigcup (U_n \cap W_n).
[/mm]
Irgendwie sehe ich nicht die letzte Umformung.
Was fehlt um zeigen zu können, dass [mm] g^{-1}(V \cap [/mm] g(N)) offen in N ist?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Nun habe ich danach gefragt, weil ich eigentlich eine
> Aufgabe lösen möchte, aber ich weis nicht so recht, was
> das richtige Argument ist:
>
> Beh:
> Seien M,N Mannigfaltigkeiten. Und sei g:N->M eine
> injektive glatte Immsersion, dann gilt:
>
> g ist eine Einbettung <=> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N [mm]\exists U_n \subset[/mm]
> N, s.d. [mm]g_{|U_n}[/mm] ist eine Einbettung.
>
> Bew:
> "=>" ist klar.
>
> "<="
>
> Damit g Einbettung ist, müssen wir zeigen dass g:N->g(N)
> homöomorph ist.
> g ist sicher bijektiv. Aber die Stetigkeit von g macht mir
> bisschen sorgen.
>
> Mein Argument war folgendes:
> Sei V [mm]\cap[/mm] g(N) offen in g(N) mit V offen in M.
>
> [mm]=>g^{-1}(V \cap g(N))=g^{-1}(V \cap g(\bigcup U_n))=\bigcup g^{-1}(V \cap g(U_n))[/mm]
>
> Nun wissen wir nach vor., dass [mm]g^{-1}(V \cap g(U_n))=g^{-1}(V) \cap U_n[/mm]
> offen in [mm]U_n[/mm] ist
> Nun haben wir festgestellt, dass daraus nicht folgt, dass
> [mm]g^{-1}(V)[/mm] offen in M ist.
Fuer ein einzelndes $n$ nicht. Allerdings gilt das ja fuer alle $n$. Da [mm] $U_n \subseteq [/mm] N$ offen ist, ist [mm] $g^{-1}(V) \cap U_n$ [/mm] auch offen in $N$ selber. Und damit ist auch [mm] $\bigcup_{n\in N} (g^{-1}(V) \cap U_n)$ [/mm] offen in $N$. Das kann man zu [mm] $g^{-1}(V) \cap \bigcup_{n\in N} U_n$ [/mm] umformen. Und [mm] $\bigcup_{n\in N} U_n$ [/mm] ist...?
> Aber wir haben auch festgestellt, dass wir zu jedem
> [mm]g^{-1}(V) \cap U_n[/mm]
> eine offene Teilmenge [mm]W_n \subset[/mm] N
> finden, s.d.
> [mm]g^{-1}(V) \cap U_n[/mm] = [mm]U_n \cap W_n[/mm]
>
> [mm]=>g^{-1}(V \cap g(N))=\bigcup (U_n \cap W_n).[/mm]
>
> Irgendwie sehe ich nicht die letzte Umformung.
> Was fehlt um zeigen zu können, dass [mm]g^{-1}(V \cap[/mm] g(N))
> offen in N ist?
Das ist zu kompliziert. Mach es so wie ich oben angedeutet habe.
LG Felix
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