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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Do 17.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Sei [mm] $Abb.(\IR,\IR)$die [/mm] Menge der Funktionen [mm] \IR\to\IR. [/mm] Für f,g [mm] \in $Abb.(\IR,\IR)$ [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon \IR [/mm] definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation durch
$(f+g)(x):= f(x) + g(x) für [mm] \in\IR\$
[/mm]
[mm] $(\lambda*f) [/mm] := [mm] \lambda [/mm] * f(x) für [mm] \varepsilon \IR$
[/mm]
Weiter bezeichne
$G:= [mm] \{f \in \mathrm{Abb}(\IR,\IR)|f(-x)= f(x) \text{ für alle } x \in \IR\}$
[/mm]
$U:= [mm] \{f \in \mathrm{Abb}(\IR,\IR)|f(-x)=-f(x) \text{ für alle } x \in \IR\}$ [/mm]
die Menge der geraden bzw. ungeraden Funktionen auf [mm] \IR
[/mm]
a) Ist [mm] $G\cup [/mm] U$ ein Teilraum von [mm] {Abb}(\IR,\IR)?
[/mm]
b) Ist [mm] $G\cap [/mm] U$ ein Teilraum von [mm] {Abb}(\IR,\IR)?
[/mm]
c) Zeigen sie, dass jedes Element in [mm] f\in{Abb.}(\IR,\IR), [/mm] geschrieben werden kann als f=g+u mit g [mm]\varepsilon[/mm] G und u [mm]\varepsilon[/mm] U
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Hallo und schönen guten abend,
die aufgaben liegen mir nicht recht ich zeig euch mal meinen ansatz
zu d)
also wenn
[mm] g_{1}+g_{2} \in [/mm] G
[mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] G
[mm] u_{1}+u_{2} \in [/mm] U
[mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] G
(dass habe ich schon alles gezeigt)
gilt, dann ist G [mm] \cup [/mm] U
es muß aber noch ein Fall betrachtet werden
g+u [mm] \in [/mm] G [mm] \cup [/mm] U
aber wie mach ich das?
für b) und c) habe ich noch keine Idee
Danke für eure Hilfe Gruß hooover
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a)
[mm]G \cup U[/mm] ist gar kein Teilraum. Dazu genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben. Wie wäre es mit den Funktionen [mm]g,u,g+u[/mm] mit [mm]g(x) = x^2, \ u(x) = x[/mm] ?
b)
Wenn [mm]f \in G \cap U[/mm] ist, also sowohl gerade als auch ungerade ist und folglich [mm]f(-x) = f(x)[/mm] wie auch [mm]f(-x) = -f(x)[/mm], daher auch [mm]f(x) = -f(x)[/mm] erfüllt, was heißt das dann für [mm]f[/mm] ?
c)
Betrachte die Exponentialfunktion [mm]\exp[/mm] und die hyperbolischen Funktionen [mm]\cosh, \sinh[/mm]. [mm]\cosh[/mm] ist gerade, [mm]\sinh[/mm] ist ungerade, und [mm]\exp[/mm] weder das eine noch das andere. Es gilt jedoch [mm]\exp = \cosh + \sinh[/mm].
Versuche, das Konstruktionsprinzip, nach dem [mm]\cosh,\sinh[/mm] mittels [mm]\exp[/mm] definiert werden, auf beliebige Funktionen [mm]f[/mm] statt [mm]\exp[/mm] zu übertragen.
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