Teilräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Do 17.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Sei [mm] Abb.(\IR,\IR) [/mm] die Menge der Funktionen [mm] \IR\to\IR. [/mm] Für f,g [mm] \varepsilon Abb.(\IR,\IR) [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon \IR [/mm] definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation durch
(f+g)(x):= f(x) + g(x) für [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
[mm] (\lambda*f) [/mm] := [mm] \lambda [/mm] * f(x) für [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Weiter bezeichne
G:= {f [mm] \varepsilon Abb.(\IR,\IR)|f(-x)=f(x) [/mm] für alle [mm] \varepsilon \IR [/mm] }
F:= {f [mm] \varepsilon Abb.(\IR,\IR)|f(-x)=-f(x) [/mm] für alle [mm] \varepsilon \IR [/mm] }
die Menge der geraden bzw. ungeraden Funktionen auf [mm] \IR
[/mm]
Ziegen sie, dass G und U Teilräume von [mm] Abb.(\IR,\IR) [/mm] sind.
|
Hallo Leute,
also ich weiß nicht ob ich die Aufgabe so richtig verstanden habe.
Mein Ansatz ist der, das ich erst zeige das G ein Teilraum und dann U auch ein Teilraum von [mm] Abb.(\IR,\IR) [/mm] ist.
Und das sieht so aus. (bitte helft mir auch bezüglich der korekten mathem. Schreibweise, falls ich mich unkorekt ausdrücke)
erstens sage ich
u,v [mm] \varepsilon [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \varepsilon [/mm] G
u(-x)=u(x)
v(-x)=v(x)
u(x)+v(x)=u(-x)+v(-x)
[mm] \gdw
[/mm]
(u+v)(-x)=(u+v)(x)
f:=(u+v) [mm] \Rightarrow [/mm] f(-x)=f(x)
so jetzt
u [mm] \varepsilon [/mm] G [mm] \lambda [/mm] u [mm] \varepsilon [/mm] G [mm] \lambda \varepsilon\IR
[/mm]
[mm] (\lambda u)(-x)=\lambda(u)(x) [/mm] / : [mm] \lambda [/mm] bei [mm] \lambda\not=0
[/mm]
u(-x)=u(x)
also wäre G schonmal Teilmenge von [mm] Abb.(\IR,\IR) [/mm] ist.
Das ganze halt noch für U machen, falls das so stimmt.
Vielen Dank für Ihre Hilfe Gruß hooover
|
|
| |
|
Hallo,
vorneweg ne technische Kleinigkeit: Für das Element-Zeichen gibt es den Befehl \in. In der Zeichenliste während der Artikelbearbeitung steht es auch. Komplett in TeX kannst du die Definition so schreiben:
$G:= \{f \in \mathrm{Abb}(\IR,\IR)|f(-x)= f(x) \text{ für alle } x \in \IR\}$
$G:= [mm] \{f \in \mathrm{Abb}(\IR,\IR)|f(-x)= f(x) \text{ für alle } x \in \IR\}$
[/mm]
$U:= [mm] \{f \in \mathrm{Abb}(\IR,\IR)|f(-x)=-f(x) \text{ für alle } x \in \IR\}$
[/mm]
> Mein Ansatz ist der, das ich erst zeige das G ein Teilraum
> und dann U auch ein Teilraum von [mm]Abb.(\IR,\IR)[/mm] ist.
Ja, das sind zwei getrennte Teilaufgaben.
> u,v [mm]\varepsilon[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm] u+v [mm]\varepsilon[/mm] G
> u(-x)=u(x)
> v(-x)=v(x)
> u(x)+v(x)=u(-x)+v(-x)
> [mm]\gdw[/mm]
> (u+v)(-x)=(u+v)(x)
> f:=(u+v) [mm]\Rightarrow[/mm] f(-x)=f(x)
Das ist fast richtig: Es fehlt die Angabe, wer x ist. Es ist wichtig, dass diese Gleichungen für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten.
Du solltest also vor die Zeile u(-x) = u(x) noch schreiben "Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig."
> u [mm]\varepsilon[/mm] G [mm]\lambda[/mm] u [mm]\varepsilon[/mm] G [mm]\lambda \varepsilon\IR[/mm]
Hier hast du dich mit der Reihenfolge der Formeln etwas vertan, du meintest sicher
$u [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] G$.
> [mm](\lambda u)(-x)=\lambda(u)(x)[/mm] / : [mm]\lambda[/mm] bei [mm]\lambda\not=0[/mm]
> u(-x)=u(x)
Bei diesem Schluss würde ich dir
"Beweisrichtung! $-1=+1 [mm] \Rightarrow (-1)^2=(+1)^2 \Rightarrow [/mm] 1=1$"
aufs Blatt schreiben. Du folgerst von der Behauptung auf die Voraussetzung. Auch sagst du nichts über den Fall [mm] \lambda=0 [/mm] aus.
Gehe von der Voraussetzung
$u(-x)=u(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
aus, multipliziere diese Gleichung mit [mm] \lambda, [/mm] und schon bist du fertig.
> also wäre G schonmal Teilmenge von [mm]Abb.(\IR,\IR)[/mm] ist.
>
> Das ganze halt noch für U machen, falls das so stimmt.
Der Beweis für U verläuft analog.
Gruß,
SirJective
|
|
|
|
