Teilmengen einer Potenzmeng < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A und B Teilmengen von C. Zeigen Sie:
[mm] 1.)\{ K\in P(C)|B \subseteq K \} \subseteq \{ K\in P(C)|A \subseteq K \}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B
[mm] 2.)\{ K\in P(C)|B \subseteq K \} \cap \{ K\in P(C)| A \subseteq K \}
[/mm]
= [mm] \{ K\in P(C)| A \cup B \subseteq K \}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hab hierzu gar keinen Ansatz.
Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
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> Seien A und B Teilmengen von C. Zeigen Sie:
> [mm]1.)\{ K\in P(C)|B \subseteq K \} \subseteq \{ K\in P(C)|A \subseteq K \}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B
> [mm]2.)\{ K\in P(C)|B \subseteq K \} \cap \{ K\in P(C)| A \subseteq K \}[/mm]
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> = [mm]\{ K\in P(C)| A \cup B \subseteq K \}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Woran liegt es, daß Du keinen Ansatz findest?
Jeder Beweis beginnt damit, daß man sich zunächst die einzelnen Bestandteile anschaut, und sich selbst fragt, ob man wirklich weiß, was sich dahinter verbirgt.
Wenn ich nicht weiß, wie Zucker aussieht und wie er üblicherweise verpackt ist, nützt mir das schönste Backrezept fast nichts. Ich würde ihn in der Küche nicht gezielt suchen können und hätte viele Fehlversuche mit Essigessenz, Katzenfutter oder Eierlöffeln im Kuchenteig.
Laß uns also die Zutaten anschauen.
Wir haben Mengen A,B, welche Teilmenge einer Menge C sind.
Dann sehe ich P(C). Was ist das ? Die Potenzmenge von C, also die Menge aller Teilmengen von C.
Was beinhaltet die Menge [mm] T_B:=\{ K\in P(C)|B \subseteq K \}?
[/mm]
Nun, die Elemente dieser Menge sind in der Potenzmenge von C. Also sind es Teilmengen von C.
Hier gilt es innezuhalten, weil es am Anfang sehr ungewohnt ist:
Wir haben eine Menge, deren Elemente Mengen sind.
Wir haben eine Menge, deren Elemente Mengen sind.
Wir haben eine Menge, deren Elemente Mengen sind.
Sie haben eine besondere Eigenschaft: es ist nämlich
B Teilmenge einer jeder dieser Mengen, die Element von [mm] T_B [/mm] ist.
Völlig Analoges gilt für [mm] T_B.
[/mm]
So, nun könnte man eigentlich mit der Beweiserei anfangen. Der Beweis geht sehr schnell.
Aber es ist sehr nützlich, sich kleine Beispiele zu basteln, an denen man die Aussage ausprobiert.
Ich habe das auf meinem Zettelchen getan. Ich mache das fast immer, weil ich dann besser verstehe, wo der Knackpunkt liegt.
Ich habe mir also eine Menge genommen [mm] C:=\{1,2,3\} [/mm] und dazu zwei Teilmengen [mm] A:=\{1\} [/mm] und [mm] B:=\{2\}.
[/mm]
Nun habe ich mir einmal [mm] T_A [/mm] und [mm] T_B [/mm] aufgeschrieben.
Jetzt ein zweites Beispiel: Wieder C als Grundmenge. [mm] A:=\{1\}, B:=\{1,2\}.
[/mm]
Wieder [mm] T_A [/mm] und [mm] T_B. [/mm] Das hat ja schon ein bißchen etwas mit der Aufgabe zu tun.
Als nächstes habe ich versucht, eine Situation zu konstruieren, in welcher
[mm] T_B \subseteq T_A [/mm] ist, aber A [mm] \not\subseteq [/mm] B. Es ist mir nicht gelungen, und im Verlaufe meiner Bemühungen ist mir aufgefallen, warum es nicht geht.
Ich empfehle Dir wärmstens, dieses Spielchen mit den Mengen auch zu betreiben. Wenn Du etwas verstehen möchtest, ist es keine verlorenen Zeit.
Zum eigentlichen Beweis nur ein Tip:
Es ist B [mm] \in T_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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