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| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume? (Antwort begründen)
1. M1=(f [mm] \in Abb(\IR, \IR) [/mm] | f(2)= f(0) + 2) als Teilmenge des [mm] \IR-Vektorraums Abb(\IR, \IR) [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Ich schreibe demnächst meine Nachklausur und benötige dringend Hilfe. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, wie man die Unterraumaxiome anwedet.
Bei dieser Art von Aufgabe habe ich das Problem, dass ich die 3 Unterraumaxiome kenne und auch weiß, dass alle 3 erfüllt sein müssen, damit die Teilmenge ein Unterraum ist, ABER ich weiß nicht wie ich diese Axiome auf spezielle Aufgaben anwenden soll. Kurz gesagt: Die Theorie kann ich auswendig daher sagen, kann sie aber nicht anwenden, weil ich es irgendwie noch nicht begriffen habe. HILFE!!! Danke im Voraus!
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> Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume? (Antwort
> begründen)
> 1. M1=(f [mm]\in Abb(\IR, \IR)[/mm] | f(2)= f(0) + 2) als
> Teilmenge des [mm]\IR-Vektorraums Abb(\IR, \IR)[/mm]
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> Bei dieser Art von Aufgabe habe ich das Problem, dass ich
> die 3 Unterraumaxiome kenne und auch weiß, dass alle 3
> erfüllt sein müssen, damit die Teilmenge ein Unterraum ist,
> ABER ich weiß nicht wie ich diese Axiome auf spezielle
> Aufgaben anwenden soll. Kurz gesagt: Die Theorie kann ich
> auswendig daher sagen, kann sie aber nicht anwenden, weil
> ich es irgendwie noch nicht begriffen habe.
Hallo,
dann sag sie doch jetzt mal auf, diese drei Bedingungen, und dann gucken wir weiter.
Gruß v. Angela
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Die Teilmenge M1 ist genau dann ein Untervektorraum des R-Vektorraums Abb(R,R), wenn M1 [mm] \not= [/mm] 0 und für alle x,y [mm] \in [/mm] M1 und alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt: x+y [mm] \in [/mm] M1 und [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] M1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Die Teilmenge [mm] M_1 [/mm] ist genau dann ein Untervektorraum des
> R-Vektorraums Abb(R,R), wenn [mm] M_1[/mm] [mm]\not=[/mm] 0 und für alle x,y
> [mm]\in[/mm] [mm] M_1 [/mm] und alle [mm]\lambda x[/mm] gilt: x+y [mm]\in[/mm] [mm] M_1 [/mm] und [mm]\lambda x \in[/mm] [mm] M_1 [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = {f [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] | f(2) = f(0) + 2}$ ist kein Unterraum von [mm] $Abb(\IR, \IR)$, [/mm] denn es existiert folgendes Gegenbeispiel:
$f(x) = x, [mm] \lambda [/mm] = 5$.
Es gilt: $f(x) [mm] \in M_1$ [/mm] , denn $f(2) = 2 = f(0) + 2 = 0 +2$, aber
$5f(x) [mm] \not\in M_1$, [/mm] denn $5f(2) = 5*2 = 10 [mm] \not= [/mm] 5f(0)+2 = 5*0 +2 = 2$
Ein Gegenbeispiel lässt sich meist recht leicht finden, wenn es existiert. Schwieriger wird der positive Fall: Dann musst du beweisen dass
1. eine Abbildung in [mm] M_1 [/mm] existiert (ein Beispiel reicht)
2. + 3. FÜR ALLE x,y [mm] \in M_1 [/mm] und ALLE [mm] \lambda [/mm] x gilt: s.o.
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Okay, vielleicht eine dumme Frage: Wie kommst du jetzt genau auf [mm] \lambda [/mm] =5?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Da ich ein Gegenbeispiel gesucht habe, konnte ich [mm] \lambda [/mm] frei wählen. Ich habe mich für fünf entschieden, weil es die erste Zahl war, die mir einfiel. Es klappt auch mit allen anderen Zahlen außer 1.
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> Die Teilmenge M1 ist genau dann ein Untervektorraum des
> R-Vektorraums Abb(R,R), wenn M1 [mm]\not=[/mm] 0 und für alle x,y
> [mm]\in[/mm] M1 und alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] gilt: x+y [mm]\in[/mm] M1 und
> [mm]\lambda[/mm] x [mm]\in[/mm] M1
>
Hallo,
ganz am Anfang der Überlegungen sollte die Frage stehen:
welches sind die Objekte, die hier betrachtet werden?
In Deiner Menge [mm] M_1 [/mm] sind das Funktionen von [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR.
[/mm]
Die nächste Frage ist die nach den Verknüpfungen.
Was bedeutet es, wenn ich zwei meiner Objekte, zwei Funktionen, addiere? Wie ist die Addition meiner Objekte erklärt, die Summe zweier Funktionen? Und die Multiplikation mit Skalaren?
Bei Deiner Menge ist es so, daß f+g wie folgt erklärt ist: (f+g)(x):= f(x)+g(x) für alle x [mm] \in \IR, [/mm] die Multiplikation mit Skalaren, [mm] \lambda [/mm] f, durch [mm] (\lambda [/mm] f)(x):= [mm] \lambda [/mm] f(x) für alle x.
Wenn man für sich diese Fragen geklärt hat, kann man sich "den 3 Punkten" zuwenden. Vorher nicht.
> M1 [mm]\not=[/mm] 0
Ich hoffe, daß es sich hier nur um einen Schreibfehler handelt, bzw. um das Unvermögen, mit dem Formeleditor umzugehen.
Richtig heißt es [mm] M_1\not=\emptyset.
[/mm]
Um das zu prüfen, muß man also ein Element finden, welches in der Menge liegt. Wenn man irgendeins findet, hat man diesen Punkt abgehakt.
Zur Suche nach einem Element:
Es gibt ein Element, welches in jedem noch so kleinen Untervektorraum enthalten ist, das neutrale Element bzgl. +, es ist nützlich, das zu wissen.
Nicht zuletzt aus diesem Grund:
Wenn die Null nicht drin ist, nützen einem die schönsten anderen Elemente absolut gar nix. Wenn die Null nicht drin ist, ist man fertig, man hat keinen Vektorraum.
Bevor man nachschaut, ob die Null drin liegt, muß man sich natürlich überlegen, was die Null im konkreten Falle ist. Hier: welches ist die Null im Vektorraum der Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR? [/mm] Es ist nicht die Zahl 0!!! Sondern es ist die Funktion, welche jedem Argument den Funktionswert 0 zuordnet, also die Funktion n mit n(x):=0.
Nun schauen wir mal, ob die in Deiner Menge drin liegt.
Wenn sie drin wäre, müßte n(2)=n(0)+2 sein.
Und??? Ist das der Fall???
Hiermit ist man eigentlich bzgl. der Aufgabe fertig.
Zum Üben und Verstehen fände ich es sinnvoll, wenn Du Dir überlegst, ob mit f,g [mm] \in M_1 [/mm] auch f+g [mm] \in M_1 [/mm] gilt,
und ob für jedes [mm] \lambda \in \IR \lambda [/mm] f [mm] \in M_1.
[/mm]
Ich glaube, Du kannst etwas daran lernen.
Gruß v. Angela
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Erstmal danke für deine Bemühungen!
Das mit der leeren Menge war ein Schreibfehler!
Ich würde sagen, dass die Funktion in meiner Menge liegt, weil diese ja gleich Null ist, oder nicht? Und 0+2=2=f(2) ?!
"Zum Üben und Verstehen fände ich es sinnvoll, wenn Du Dir überlegst, ob mit f,g auch f+g gilt..." Dabei verstehe ich allerdings nur Bahnhof...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Die Nullfunktion ist die Funktion $f(x) = 0$ (für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Diese Funktion gehört nicht zur Menge [mm] $M_1$, [/mm] denn es gilt nicht
$f(2) = f(0) +2$, wegen $f(2) = 0$ und $f(0) = 0$.
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>> "Zum Üben und Verstehen fände ich es sinnvoll, wenn Du Dir
>> überlegst, ob mit f,g auch f+g gilt..."
> Dabei verstehe ich allerdings nur Bahnhof...
Genau das hatte ich befürchtet.
Noch einmal der Deutlichkeit halber vorweg: die Aufgabe ist gelöst.
Wir haben inzwischen sogar zwei Gründe gefunden, warum [mm] M_1 [/mm] kein UVR ist.
Ein Grund hätte gereicht, und es ist absolut richtig, ein Gegenbeispiel anzugeben, wie Ankh das getan hat.
Es geht mir jetzt "nur" um einen Lerneffekt, darum, wie Du an solche Aufgaben herangehen mußt.
Für "eine Teilmenge ist UVR" wäre ja u.a. zu zeigen, daß mit zwei Elementen auch ihre Summe in der fraglichen Teilmenge liegt.
Gehen wir jetzt zur Menge [mm] M_1 [/mm] und nehmen wir uns 2 beliebige Elemente dieser Menge, f und g [mm] \in M_1.
[/mm]
Was machen wir, wenn wir herausfinden wollen, ob auch f+g [mm] \in M_1?
[/mm]
Zunächst einmal machen wir uns klar, was es bedeutet, wenn f, g [mm] \in M_1.
[/mm]
Das bedeutet zu einen, daß es beides Funktionen von [mm] \IR--> \IR [/mm] sind, zum anderen erfüllen sie eine besondere Bedingung: f(2)=f(0)+2 und g(2)=g(0)+2.
Um zu überprüfen, ob f+g in [mm] M_1 [/mm] liegt, müssen wir herausfinden, ob f+g eine Funktion von [mm] \IR-->\IR [/mm] ist (ja, das ist klar!) und ob
(f+g)(2)=(f+g)(0)+2 in jedem Fall gilt.
Dazu mußt Du die rechte und die linke Seite ausrechnen, und gucken, ob sie in jedem Falle gleich sind.
Kannst Du das?
Gruß v. Angela
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Hi! Danke! Jetzt sage mir nur noch, woher kannst du das so gut??? Ich werde ganz neidisch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
für ein grundlegendes Verständnis solltest du dich auch fragen , warum es reicht ,nur 3 Axiome nachzurechnen und nicht alle Vektorraumaxiome
LG
Heiko
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Weil wir es hierbei ja dann nur mit einer Teilmenge eines Vektorraums, also einem Unterraum zu tuen haben.So kann man ja jetzt Elemente von unserer Teilmenge addieren und mit dem Körper der reellen Zahlen multiplizieren, aber die Teilmenge wird dadurch nicht zu einem Vektorraum. Weil es ja sein kann, dass nur ein Teil der Teilmenge in [mm] \IR [/mm] liegt. Oder? Aber was bringt mir das jetzt genau für die Anwendung?!
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> Weil wir es hierbei ja dann nur mit einer Teilmenge eines
> Vektorraums, also einem Unterraum zu tuen haben.
"Teilmenge" ist richtig, ob "Unterraum" will man ja erst herausbekommen.
Die Tatsache, daß man eine Teilmenge des VRs hat und diesselben Verknüpfungen, bedingt, daß die Rechengesetze des VRs gelten. Denn was für alle Elemente gilt, gilt natürlich auch für die der Teilmenge.
Das einzige, was man nicht weiß, ist, ob man mit der Addition bzw. der Multiplikation mit Skalaren nicht aus der Teilmenge herausgerät.
Das ist zu prüfen. Die Abgeschlossenheit der Teilmenge bzgl. + und *, bei Dir sind das die 2. und 3. Bedingung.
Und natürlich, ob die Teilmenge überhaupt ein Element enthält - denn wenn kein Element drin ist, kann man die Gültigkeit so mancher Eigenschaften nachweisen, und hat trotzdem keinen Vektorraum.
Gruß v. Angela
So kann man
> ja jetzt Elemente von unserer Teilmenge addieren und mit
> dem Körper der reellen Zahlen multiplizieren, aber die
> Teilmenge wird dadurch nicht zu einem Vektorraum. Weil es
> ja sein kann, dass nur ein Teil der Teilmenge in [mm]\IR[/mm] liegt.
> Oder? Aber was bringt mir das jetzt genau für die
> Anwendung?!
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