Teilmenge von Polynomfunktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 06.07.2006 | | Autor: | maggi20 |
Hallo!
Ich habe da mal eine Frage was die Polynomfunktionen betrifft. Wir sollen begründen warum es keine endliche Teilmenge S von P(R,R) gibt mit <S>=P(R,R). Könnte mir da vielleicht jemnad weiterhelfen. Ich verstehe überhaupt nicht um was es hierbei geht.
Liebe Grüsse
maggi
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Hallo und guten Morgen,
denkbar wäre zB, daß Ihr mit [mm] P(\IR,\IR) [/mm] die Menge aller Polynome von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] bezeichnet, also schlicht und einfach alle
Polynome in einer Variablen mit reellen Koeffizienten, aufgefasst als Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Nehmen wir mal an, dem sei so (reiche ansonsten einfach die richtige Definition noch nach).
Dann ist diese Menge ein [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] und Ihr sollt zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem gibt, also
insbesondere keine endliche Basis.
Hierzu kann man sich einfach überlegen , dass die Polynome [mm] p_i(x):=x^i, \: i\in\IN [/mm] eine unendliche linear unabhängige Menge bilden.
Denkbar wäre auch, dass Ihr dann [mm] P(\IR,\IR) [/mm] nicht als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] auffasst, sondern sogar als eine [mm] \IR-Algebra [/mm] (hoffentlich
stimmt das) - d.h. Ihr nehmt noch die Polynommultiplikation hinzu und meint mit <S> die Menge der Polynome, die sich durch iterierte
Linearkombination und Polynommultiplikation aus S erzeugen lassen.
Dann wäre die Aussage aber nicht richtig, denn [mm] \{p_0(x)=1, p_1(x)=x\} [/mm] wäre ein Erzeugendensystem.
Also sollte ersteres gemeint sein.
Gruss,
Mathias
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