Teilmenge eines Teilraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:11 Do 27.03.2008 | | Autor: | kaoh |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge des [mm] \IC^{3} [/mm] ein Teilraum ist:
M := {(x, y, z) [mm] \in \IC^{3} [/mm] | 2x − y + iz = 0} |
Hallo,
also 2*0 - 0 + i*0 = 0 => [mm] \overrightarrow{0} \in [/mm] M.
so jetzt muss noch die abgeschlossenheit bezüglich addition und skalarer multiplikation gezeigt werden. da hab ich so meine probleme.
V1 = (x1, y1, z1)
V2 = (x2, y2, z2)
V1,V2 [mm] \in [/mm] M
kann man jetzt sagen, dass
2*(x1+x2) - (y1+y2) + i * (z1+z2) = 0
=> V1+V2 [mm] \in [/mm] M
und
t [mm] \in \IC [/mm] beliebig
V1 = (x, y, z) V1 [mm] \in [/mm] M
2*t*x - t*y + i*t*z = 0
=> V1 [mm] \in [/mm] M
geht das so??
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Hallo kaoh,
ja, das geht so, ich würde aber noch ein paar Worte mehr verlieren:
> Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge des [mm]\IC^{3}[/mm] ein
> Teilraum ist:
>
> M := [mm] \{(x, y, z) \in \IC^{3} | 2x - y + iz = 0\}
[/mm]
> Hallo,
>
> also 2*0 - 0 + i*0 = 0 => [mm]\overrightarrow{0} \in[/mm] M. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so jetzt muss noch die abgeschlossenheit bezüglich addition
> und skalarer multiplikation gezeigt werden. da hab ich so
> meine probleme.
>
> V1 = (x1, y1, z1)
> V2 = (x2, y2, z2)
>
> V1,V2 [mm]\in[/mm] M
>
> kann man jetzt sagen, dass
>
> 2*(x1+x2) - (y1+y2) + i * (z1+z2) = 0
Hier würde ich unbedingt die Rechnung hinzuschreiben, dass das auch genau [mm] $v_1+v_2$ [/mm] ist:
[mm] $v_1\in [/mm] M [mm] \Rightarrow 2x_1-y_1+iz_1=0$
[/mm]
[mm] $v_2\in [/mm] M [mm] \Rightarrow 2x_2-y_2+iz_2=0$
[/mm]
Dann beide Gleichungen addieren ...
Das hast du zwar alles im Kopf oder auf dem Schmierblatt gemacht, ich würde es aber für ne Übung oder in einer Klausur auf jeden Fall hinschreiben 
> => V1+V2 [mm]\in[/mm] M
>
> und
>
> t [mm]\in \IC[/mm] beliebig
> V1 = (x, y, z) V1 [mm]\in[/mm] M
>
> 2*t*x - t*y + i*t*z = 0
Zeige auch hier rechnerisch, dass das aus [mm] $v_1\in [/mm] M$ folgt
[mm] $...=t\cdot{}(2x-y+iz)=t\cdot{}0=0$
[/mm]
>
> => [mm] \red{t\cdot{}}V1 \in [/mm] M
>
> geht das so??
Jo, etwas "knapp", aber ok
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Do 27.03.2008 | | Autor: | kaoh |
hey vielen dank für die antwort :)
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