Teilmenge auch Teilraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Von den folgenden Abbildungen soll bestimmt werden, ob deren Bilder ein Teilraum des R² sind:
[mm] A:R^2->R^2;\vektor{v_1 \\ v_2}->\vektor{v_1+1 \\ v_1+1}
[/mm]
[mm] B:R^2->R^2;\vektor{v_1 \\ v_2}->\vektor{v_1 \\ v_2^2}
[/mm]
[mm] C:R^2->R^2;\vektor{v_1 \\ v_2}->\vektor{2v_1+v_2 \\ 4v_1+3v_2}
[/mm]
Wenn UVR gegeben ist, soll eine Basis bestimmt werden. |
Hallo Leute!
Ich hab Probleme mit der obenstehenden Aufgabe, die zugegeben eigentlich nicht so schwer ist. Zumal wir das Thema Teilräume in der letzten Vorlesung hatten.
Mir ist klar, dass ich die durch dir Abbildung entstehende Menge auf 3 Kriterien untersuchen muss: nicht leer, abgeschl. bzgl. Addition/Multiplikation.
Nur das gestaltet sich bei mir einwenig schwierig. Hoffe mir kann jemand helfen.
a,b [mm] \in [/mm] A
[mm] u=a+b=\vektor{a_1+b_1\\(a_2^2+b_2^2)^2}ungleich \vektor{a_1+b_1\\a_2^2+b_2^2} [/mm] nicht abgeschl. bzg. Addition. Kein UVR.
[mm] c,d\in [/mm] B
[mm] i=c+d=\vektor{(c_1+d_1)+1\\(c_1+d_1)+1}=\vektor{((c_1+1)+(d_1+1))+1\\((c_1+1)+(d_1+1))+1}=\vektor{c_1+3+d_1\\c_1+3+d_1} [/mm] Nicht abgeschlossen bzgl Addition.
Bin mir sicher, dass das alles Kokolores ist. Hilfe!
mfg
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Hallo Lentio,
du prüft nicht auf Abgeschlossenheit der Addition, sondern ob die Funktionen jeweils linear sind.
Das sind sie aber im allgemeinen offensichtlich nicht.
Du musst prüfen, ob der Bildraum abgeschlossen ist. Dazu ein paar Hinweise:
> a,b [mm]\in[/mm] A
Es muss heissen: $a,b [mm] \in [/mm] im(A)$ oder $a,b [mm] \in [/mm] Bild(A)$
Jenachdem, wie ihr den Bildraum bezeichnet.
[mm]u=a+b= \vektor{a_1+b_1\\a_2^2+b_2^2}[/mm]
Ich hab die Mitte mal weggenommen, die war unnötig hierfür.
Dass obiges gilt, ist ja erstmal klar, wir haben nur addiert.
Die Frage ist nun: liegt u im Bild von A?
Dazu meine Frage an dich: Wann liegt ein Vektor u denn im Bild von A?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort und den Tipp mit a,b [mm] \in. [/mm] Das war natürlich ein fetter Fehler.
A und B sind nicht linear, C schon. Aber kann die Bildmenge einer nicht linearen Abbildung nicht trotzdem auch ein UVR sein?
Zu der Frage:
Damit ein Vektor im Bild liegt, muss dieser als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden können,oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort und den Tipp mit a,b [mm]\in.[/mm] Das war
> natürlicOh ein fetter Fehler.
>
> A und B sind nicht linear, C schon. Aber kann die Bildmenge
> einer nicht linearen Abbildung nicht trotzdem auch ein UVR
> sein?
Klar, das kommt vor:
Definiere P: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] durch P(x,y)=(xy,0)
Es ist [mm] $P(\IR^2)= \{(t,0): t \in \IR\}$
[/mm]
>
>
> Zu der Frage:
> Damit ein Vektor im Bild liegt, muss dieser als
> Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden
> können,oder?
Welche Basisvektoren meinst Du ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Moin Moin!
wenn die Teilmenge ein UvR ist, dann gibt es doch eine Basis, deren lineare Hülle den ganzen UVR aufspannt. oder hab ich da was falsch verstanden?.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin Moin!
> wenn die Teilmenge ein UvR ist, dann gibt es doch eine
> Basis, deren lineare Hülle den ganzen UVR aufspannt. oder
> hab ich da was falsch verstanden?.
Nein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
>$ u=a+b= [mm] \vektor{a_1+b_1\\a_2^2+b_2^2} [/mm] $
>Ich hab die Mitte mal weggenommen, die war unnötig hierfür.
>Dass obiges gilt, ist ja erstmal klar, wir haben nur addiert.
>Die Frage ist nun: liegt u im Bild von A?
Genau damit hab ich meine Probleme. Eigentlich dürfte die Bildmenge kein UVR sein (in meiner Vorstellung), aber wie zeige ich das?
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Hallo Lentino,
> >[mm] u=a+b= \vektor{a_1+b_1\\
a_2^2+b_2^2}[/mm]
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> >Ich hab die Mitte mal weggenommen, die war unnötig
> hierfür.
> >Dass obiges gilt, ist ja erstmal klar, wir haben nur
> addiert.
> >Die Frage ist nun: liegt u im Bild von A?
>
> Genau damit hab ich meine Probleme. Eigentlich dürfte die
> Bildmenge kein UVR sein (in meiner Vorstellung), aber wie
> zeige ich das?
Wo kommen die Quadrate her?
Es ist wohl die Abbildung [mm]B[/mm] gemeint?!
Nun, wenn [mm]a,b\in\operatorname{im}(B)[/mm] liegen, haben sie die Gestalt [mm]a=\vektor{a_1\\
a_2^2},b=\vektor{b_1\\
b_2^2}[/mm] als Bilder von [mm]\vektor{a_1\\
a_2}[/mm] bzw. [mm]\vektor{b_1\\
b_2}[/mm]
Nun ist [mm]a+b=\vektor{a_1+b_1\\
a_2^2+b_2^2}[/mm]
Gibt's dazu einen Vektor [mm]\vektor{x\\
y}\in\IR^2[/mm], dessen Bild unter [mm]B[/mm], also [mm]B(\vektor{x\\
y})=a+b[/mm] ist?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Hilfe schachuzipus
>Gibt's dazu einen Vektor $ [mm] \vektor{x\\ y}\in\IR^2 [/mm] $, dessen Bild unter $ B $, also $ [mm] B(\vektor{x\\ y})=a+b [/mm] $ ist?
Äh, nein?
Wenn z.B. [mm] \vektor{x\\ y}= \vektor{a_1 \\ a_2}+\vektor{b_1 \\ b_2}
[/mm]
[mm] B(\vektor{x \\ y})=\vektor{a_1+b_1 \\ (a_2+b_2)^2}\not=a+b
[/mm]
mfg
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Hallo nochmal,
> Danke für die Hilfe schachuzipus
>
>
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> >Gibt's dazu einen Vektor [mm]\vektor{x\\
y}\in\IR^2 [/mm], dessen
> Bild unter [mm]B [/mm], also [mm]B(\vektor{x\\
y})=a+b[/mm] ist?
>
>
>
>
> Äh, nein?
>
> Wenn z.B. [mm]\vektor{x\\
y}= \vektor{a_1 \\
a_2}+\vektor{b_1 \\
b_2}[/mm]
>
> [mm]B(\vektor{x \\
y})=\vektor{a_1+b_1 \\
(a_2+b_2)^2}\not=a+b[/mm]
Worauf wird denn [mm]\vektor{x\\
y}=\vektor{a_1+b_1\\
\sqrt{a_2^2+b_2^2}}[/mm] abgebildet?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Ups ;)
Also gibt es doch einen Vektor aus [mm] R^2, [/mm] dessen Bild die Mengeneigenschaft erfüllt. Somit ist die Menge (Bild(B)) abgeschl. bzgl. Addition. Wie kommt man auf sowas? Und wie begründe ich das in mathematischen Terme so, dass ich nicht schon wieder Abzüge beim Tutor bekomme ;) ?!
Aber abgeschl. bzgl. Multiplikation ist es doch nicht:
[mm] \alpha [/mm] B [mm] (\vektor{a_1+b_1 \\ \wurzel{a_2^2+b_2^2}}=\vektor{\alpha(a_1+b_1 )\\ \alpha(a_2^2+b_2^2)}\not=B(\vektor{\alpha(a_1+b_1) \\ \alpha\wurzel{a_2^2+b_2^2}}=\vektor{\alpha(a_1+b_1) \\ \alpha^2(a_2^2+b_2^2)}
[/mm]
Somit ISt die Bildmenge von B kein UVR,oder?
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Huhu,
du machst schonwieder nicht wirklich produktives Zeug, das zeigt, dass du dich noch nicht damit ausreichend beschäftigt hast!
Welche Gestalt hat denn [mm] $\lambda [/mm] * a$, wenn [mm] $a\in [/mm] im(B)$ gilt ?
Schreibe dir das mal aus Vektor auf.
Gibt es nun einen Vektor x, so dass $B(x) = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2^2} [/mm] = [mm] \lambda*a$ [/mm] ist?
Das ist ein einfaches Gleichungssystem, dass du nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] lösen können solltest.
Oder vielleicht doch nicht? Tip: Fallunterscheidung!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Sorry ! DA hab ich natürlich Kokolores gemacht.
Irgendwie hab ich wohl gerade ein Brett vorm Kopf, bekomme nicht einmal ein einfaches LGS hin. DAs Problem liegt ja bei [mm] x_2^2=\alpha a_2^2. [/mm] Da [mm] x_2^2 [/mm] für positive, wie auch negative Werte immer positiv ist, [mm] muss\alpha [/mm] somit auch positiv sein . Wenn jetzt aber in der Gleichung [mm] x_1= \alpha a_1 [/mm] einer der beiden Komponenten einen negativen Wert besitzt, existiert kein [mm] \alpha [/mm] das die Glechung [mm] (x_2^2=\alpha a_2^2) [/mm] erfüllt.
Somit ist die Bildmenge kein UVR
Noch einmal Danke für die Geduld!
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Hallo nochmal,
jo, gib doch der Einfachheit halber ein konkretes Gegenbsp. an, sagen wir [mm]a=\vektor{1\\
4}[/mm] ist als Bild von [mm]\vektor{1\\
2}[/mm] im Bild von [mm]B[/mm]
Mit [mm]\lambda=-1[/mm] ist [mm]\lambda\cdot{}a=\vektor{-1\\
-4}[/mm] aber nicht im Bild von [mm]B[/mm], denn es müsste einen Vektor [mm]\vektor{x\\
y}\in\IR^2[/mm] geben mit [mm]x=-1[/mm] und [mm]y^2=-4[/mm] ERROR
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
So, ich bin jetzt analog mit A verfahren:
[mm] c,d\in [/mm] Bild(A)
[mm] c+d=\vektor{c_1+d_1+2\\ c_1+d_1+2}. [/mm] Existiert ein Urbild?
Ja, denn e [mm] \in R^2, e=\vektor{c_1+d_1+1 \\ y} [/mm] und [mm] A(\vektor{c_1+d_1+1 \\ y})=\vektor{c_1+d_1+1+1 \\ c_1+d_1+1+1}. [/mm] Bildmenge in Bezug auf Addition abgeschlossen (kann man das so sagen?)
Gibt es einen Vektor [mm] \in R^2 [/mm] für den gilt:
[mm] A(\vektor{a_1 \\ a_2})=\vektor{a_1+1\\ a_1+1}=\alpha*\vektor{c_1 +1\\ c_1+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha =\bruch{d_1}{e_1} [/mm] ja Abgeschlossene Multiplikation.
Zur Basis: Ich hätte jetzt eigentlich gesagt, dass die Basis nur aus einem Vektor besteht, z.B.: [mm] \vektor{1\\ 1}. [/mm] Seine lineare Hülle spannt doch den ganzen UVR auf. Aber der Kern besteht doch nur aus dem Nullvektor und der besitzt die Dimension 0. Nach dem Dimensionsatz müsste das Bild die Dimension 2 haben, somit auch eine Basis mit 2 Vektoren ?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:49 Di 16.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Ach Quatsch, da hab ich wieder einen Fehler gemacht. Der Kern besteht natürlich nicht nur aus dem Nullvektor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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